Усилия в стойках рамы от постоянных нагрузок

За лишние неизвестные при расчете рамы по методу деформаций принимаем углы поворота верхних узлов. Для симметричной однопролетной рамы углы поворота верхних узлов будут равны: . Такая рама будет иметь лишь одно лишнее неизвестное , которое получим из канонического уравнения:

, (2.5)

где — сумма реактивных моментов в верхнем узле рамы при повороте его на угол ;

—сумма реактивных моментов в том же узле рамы от действия внешней нагрузки.

При шарнирном сопряжении ригеля со стойками расчет рамы сводится к расчету ступенчатых стоек. Для определения опорных давлений в верхних узлах стоек можно воспользоваться табл. 21 приложения.

Для решения уравнения (2.5) следует, прежде всего, определить усилия (изгибающие моменты) в элементах рамы от поворота верхних узлов на угол и построить эпюру моментов.

При повороте закреплений на угол на концах ригеля рамы возникнут реактивные моменты:

для П-образной рамы:

(2.6)

для Г-образной рамы:

(2.7)

При повороте верхнего конца одноступенчатой стойки на угол реактивные моменты на концах ее будут равны: в верхнем узле (сечение )

, (2.8)

в нижней заделке (сечение )

, (2.9)

где и — абсолютные величины коэффициентов жесткости, получаемые по табл. 22,а приложения, в зависимости от параметров и .

Реактивный момент в узле В при , очевидно, будет равен сумме:

(2.10)

Реактивный момент в узле В от вертикальной равномерно распределенной нагрузки по ригелю будет равен:

для П-образной рамы (2.11)

для Г-образной рамы .

Угол поворота:

(2.12)

Теперь умножим полученные по формулам (2.6), (2.8) и (2.9) значения моментов на , просуммируем со значениями моментов в основной системе и построим эпюру изгибающих моментов в раме от постоянной нагрузки, приложенной к ригелю рамы.

Пример 2. Определить значения изгибающих моментов, продольных и поперечных сил в стойках однопролетной симметричной рамы от равномерно распределенной нагрузки по ригелю Пролет рамы Стойки одноступенчатые , и ; ширина верхней части стойки и нижней

Установим относительные значения моментов инерции стоек и ригеля ; и и определим параметры:

и .

Реактивный момент в заделке ригеля при получим по формуле (2.6), выразив при этом через т. е. :

Примечание: жесткость в дальнейшем при определении расчетных величин усилий сократится.

Абсолютные величины коэффициентов жесткости для определения реактивных моментов по формулам (2.8) и (2.9) получим из табл. 22, а приложения. Их следует определять с точностью не менее трех знаков после запятой и тщательно следить за правильностью расчетов. Вычисления произведем в табличной форме (табл. 2.3).

Таблица 2.3

Коэффициенты жесткости для

Коэффициенты жесткости
0,1	0,2	0, 125
	0,3	- 0,58	-1,055	0,699
0,3	0,687	0,887	0,737

Теперь по формуле (2.8) получим:

и по формуле (2.9):

.

Реактивный момент в верхнем узле по формуле (2.10)

.

Реактивный момент в том же узле от внешней нагрузки по формуле (2.11)

.

Угол поворота по формуле (2.12)

Сложим значения моментов от со значениями моментов в основной системе. Моменты в узле В получим:

Примечание: при определении момента , реактивный момент, в соответствии с принятым для рамы правилом знаков, принят со знаком минус.

Момент в узле А (сечение )

Несходимость (погрешность) в узле В составляет

Момент в точке С (сечения и ) определится из подобия треугольников:

Изгибающие моменты в узлах В и А можно получить по готовым формулам: , (2.13) , (2.14) где ; и - коэффициенты жесткости стойки при повороте верхнего опорного сечения (узла ) на угол , принимаемые по табл. 22,а приложения, в формуле (2.13) со знаком плюс и в формуле (2.14) со своими знаками.

Рис. 2.6. Эпюра моментов в раме от вертикальных нагрузок, приложенных к ригелю.

Формулами (2.13) и (2.14) рекомендуется пользоваться лишь в контрольных целях. В отдельных случаях, по указанию руководителя проекта, расчет рамы на вертикальные нагрузки, приложенные к ригелю, может быть выполнен только по формулам (2.13) и (2.14).

Эпюра моментов приведена на рис. 2.6.

При расчете многопролетной рамы на вертикальные нагрузки, приложенные к ригелю, как уже отмечалось ранее, расчленяют ее на простые П- и Г-образные рамы (рис. 2.2).

П-образные рамы рассчитывают по формулам (2.13) и (2.14). Момент в верхнем узле Г-образной рамы определяют по формуле

, (2.15)

в нижнем узле — по формуле (2.14).

Обозначения для формулы (2.15) те же, что и для формулы (2.13). ступенчатых стойках рамы из-за смещения центров тяжести сечений верхней и нижней частей возникают изгибающие моменты. Величина момента равна произведению продольной силы верхней части стойки (опорных давлений стропильных и подстропильных ферм) на плечо, равное расстоянию между осями верхней и нижней частей стойки (рис. 2.7).

Эти моменты можно учитывать одновременно с расчетом рамы на вертикальные нагрузки, приложенные к ригелю, или рассматривать их как дополнительное загружение рамы.

Более целесообразным является второй способ, при котором отдельно определяют усилия (моменты) в элементах рамы от этого дополнительного загружения, а затем суммируют их с усилиями от нагрузки по ригелю. Это удобно еще и потому, что не всегда можно учесть дополнительное загружение рамы моментами одновременно с расчетом рамы на нагрузки по ригелю, как, например, при расчете рамы по формулам (2.13) и (2.15). В некоторых случаях, при малых значениях эксцентриситета между осями верхней и нижней частей стойки, дополнительными моментами можно пренебречь.

Рис. 2.7. Загружение ступенчатой колонны нагрузкой от покрытия 1 – опорное давление подстропильных ферм; 2 – опорное давление ригеля рамы; 3 – ось верхней части колонны; 4 – ось нижней части колонны;

Обе стойки загружены моментами по схеме, изображенной на рис. 2.8:

, где Плечо е впредположении, что центр тяжести сечения нижней части колонны проходит по середине ее ширины, будет равно: Тогда

Рис. 2.8. Эпюра моментов в раме от

Момент принимается приложенным на уровне подкрановой площадки колонны, обозначенной на схеме рамы буквой С (рис. 2.8). Таблица, с помощью которой будем определять коэффициенты жесткости (табл. 22, д приложения), позволяет получить значения усилий в стойках рамы при приложении момента в любой точке F по высоте . При (см. рис. в заголовке табл. 22, д приложения) точка F совмещается с точкой С, в этом случае моменты в точке С будем обозначать и , ане .

В табл. 22, д приложения значениякоэффициентов жесткости приведены для ; ; ; ; и . Поэтому при промежуточных значениях их следует вычислять по интерполяции между соседними страницами.

Коэффициенты жесткости получим из указанной выше таблицы по параметрам:

;

:

поскольку .

Значение коэффициентов жесткости определим по интерполяции (табл. 2.4).

Таблица 2.4

Коэффициенты жесткости для

Коэффициенты жесткости
0,1	0,2	0,125
	0,3	−0,300	−0,354	−0,314
	0,3	0,729	0,695	0,721
	0,3	−0,271	−0,305	−0,279
	0,3	0,171	0,145	0,165

 

Знаки коэффициентов приняты обратные табличным, поскольку направление момента противоположно табличному.

Величины изгибающих моментов от действия в характерных сечениях стоек определим по формулам, приведенным в табл. 22, д приложения.

Сечение

Эпюра моментов показана на рис. 2.8.

Просуммировав значения эпюр (рис. 2.6 и 2.8), получим расчетные величины изгибающих моментов от постоянной нагрузки по ригелю, по которым построим суммарную эпюру моментов (рис. 2.9).

 

Рис. 2.9. Эпюра моментов и продольных сил от вертикальных нагрузок, приложенных к ри­гелю (с учетом момента )

Результаты расчетов рамы по каждому виду ее нагрузки рекомендуется сводить в таблицы, которые позволят легко произвести беглый проверочный расчет, как выполняющему, так и контролирующему расчет ( табл. 2.5). Продольная сила будет равна сумме опорных реакций ферм, опирающихся на верхнюю часть колонн (в том числе и подстропильных).

 

Для нашего примера .

Эпюра продольных сил показана на рис. 2.9.

Правильность построения эпюры выполняется проверкой угла наклона и погрешность составит .

Поперечная сила в сечении

.

 

 

Таблица 2.5