Напряжённость электростатического поля, образованного заряженным отрезком прямой линии.

При расчёте напряжённости электростатического поля, образованного отрезком прямой линии с заданной погонной плотностью электрического заряда, следует обратить внимание на то, чтораспределение электрических зарядов в пространстве обладает свойством осевой симметрии. При этом осью симметрии является рассматриваемая прямая линия (Рис.1). В цилиндрической системе координат ось направим вдоль оси симметрии, начало системы координат выберем произвольно. Допустим, что известна зависимость , где координата z изменяется в пределах , Z₁ и Z₂ - координаты начала и конца рассматриваемого отрезка. Декартовы координаты точки наблюдения М определим соотношениями:

(1)

а координаты точки расположения элементарного заряда соответственно:

(2)

В силу осевой симметрии рассматриваемой задачи ниже полагаем , при этом выполняется условие . Расстояние от точки расположения элементарного заряда до точки наблюдения М равно:

(3)

Выпишем проекции дифференциалов вектора напряжённости электростатического поля на оси декартовой системы координат в точке наблюдения:

, , (4) .

Выполним интегрирование по переменной в пределах от до :

, , . (5)

Квадратуры в соотношениях (5) можно вычислить аналитически или численно для конкретных зависимостей и заданных координат точки наблюдения. Ниже получим результаты для простейшего равномерного распределения ( электрического заряда по длине отрезка [Z₁,Z₂]:

, (6)

. (7)

Заметим, что выражение (6) описывает радиальную составляющую вектора напряженности электрического поля, поскольку в выкладках использована специальным образом ориентированная система координат. При произвольном значении угловой координаты точки наблюдения , естественно, можно получить:

(8)

(9)

выражение (7) остаётся при этом без изменений.

Если точка наблюдения лежит в плоскости , результаты упрощаются:

(10)

(11)

(12)

где углы и определены соотношениями:

(13)

Легко видеть, что для бесконечной прямой с равномерным распределением электрического заряда по длине в итоге получаем соотношения:

. (14)

Модуль вектора напряженности электрического поля в точке наблюдения при этом выражается зависимостью:

(15)

его величина совпадает с радиальной компонентой вектора напряженности. В одном из последующих разделов курса этот результат будет получен с помощью теоремы Гаусса для вектора напряженности электростатического поля.