Итерационные методы решения нелинейных уравнений

А). Метод простой итерации.

Представим уравнение через и многократным применением формулы до тех пор, пока не даст , где – заданная погрешность вычисления.

б). Метод деления отрезка пополам (Дихотомии).

Для :

1. находим ;

2. вычисляем ;

3. если , задаем , иначе .

4. Проверяем условие : если оно выполняется, идем к п.1., если не выполняется, заканчиваем вычисление и считаем, что приблизительно равен искомому решению исходного уравнения с заданной точностью .

Число итераций при использовании этого метода

.

в). Метод Хорд.

Пусть имеем уравнение , где - непрерывная функция на , имеющая непрерывные и .

Корень считается отделенным и находится на отрезке , т.е.

Уравнение хорды проходящей через точку А₀ и В (см. рис.5.1, рис.5.2)

Рис. 5.1

Рис. 5.2

имеет вид

.

Найдем х = х_1, для которого y = 0

.

Если корень нас не устраивает, то мы находим

;

;

. . .

.

Рассмотрим случай, когда первая и вторая производные имеют разные знаки. (рис.5.3):

, .

Рис. 5.3

,

,

. . .

.

Неподвижными концами отрезка является тот, для которого знак функции совпадает со знаком второй производной .

Г). Метод Ньютона.

Пусть корень уравнения f(x) = 0 отделен на отрезке [a, b], причем и непрерывны и сохраняют постоянные значения на всем отрезке [a, b].

Геометрический смысл метода Ньютона в том, что дуга кривой y = f(x) заменяется касательной к этой кривой.

Первый случай (рис.5.4):

f(a) < 0 , f(b) > 0 , > 0 , > 0(основная линия)

или

f(a) > 0 , f(b) < 0 , < 0 , < 0(пунктирная линия) .

Рис. 5.4

Проведем касательную к кривой y = f(x) в точке B₀

.

Полагая y = 0 , x = x_{1 ,} получим

_,

,

. . .

^.

Второй случай (рис. 5.5):

f(a) < 0 , f(b) > 0 , > 0 , < 0(основная линия)

или

f(a) > 0 , f(b) < 0 , < 0 , > 0(пунктирная линия),

.

Рис. 5.5

Полагая y = 0 , х = х₁, получим

_, , . . . , ^.

При выборе начального приближения корня необходимо руководствоваться правилом: за исходную точку следует выбирать тот конец [a, b], в котором знак функции совпадает со знаком , т.е.

, a = x_{0 .}

д). Модифицированный метод Ньютона.

Заключается в том, что вместо вычисления производной на каждом шаге итераций находится ее приближенное значение

, .

Следовательно, итерационная формула имеет вид

.

Значение не обязательно должно быть постоянно. Равенство позволяет уменьшить число исходных данных при вводе.

Метод Рыбакова

Можно рассматривать этот метод как модификацию метода Ньютона. При замене некоторым числом , где – значение х на [a, b] , при котором производная максимальна.

При сходимость не нарушается, но замедляется.

Метод Рыбакова удобен для поиска всех корней уравнения f(x) = 0 на [a,b] .

1. Задаем начальные значения х = х₀ = а .

2. Для каждой последовательной итерации ( n = 0, 1, 2, …) вычисляем

и проверяем условие x_n < b, если оно выполняется, то, значит, найдены все корни, в противном случае проверяем выполнение условия . Если оно не выполняется, то повторяем цикл с пункта 2 и переходим к пункту 3.

3. Задаем начальное приближение и снова идем на пункт 2.