Метод Ньютона ( метод касательных )

Метод Ньютона является одним из наиболее эффективных методов решения самых разных нелинейных задач. Выведем расчетную формулу метода решения уравнения (1.1) из простых геометрических соображений. Соответствующая иллюстрация приведена на рис. 3.

Рис.3

Пусть - заданное начальное приближение к корню . В точке с координатами проведем касательную к графику функции и за новое приближение примем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью Ox. Аналогично, за приближение примем абсциссу точки пересечения с осью Ox касательной, проведенной к графику в точке с координатами . Продолжая этот процесс далее, получим последовательность приближений к корню . Известно, что уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке , имеет вид

Тогда, полагая в этой формуле , найдем абсциссу точки пересечения касательной с осью Ox и, соответственно, выражение для следующего приближения:

(1.2)

Благодаря такой геометрической интерпретации метод Ньютона часто называют методом касательных.