Примеры, имеющие самостоятельное значение
1. (3.24)
(операция дивергенции, примененная к произведению скаляра на вектор, каждый из которых есть переменная величина).
В соответствии с правилами производная от произведения равна сумме производных, т.е.
(3.25)
здесь малые буквы ( m и ) обозначают переменные величины, а большие буквы (M и ) – величины, которые временно рассматриваются как постоянно.
Вынесем скаляр M за знак (дифф-я), а во втором слагаемом оператор (Гамильтона) будем рассматривать как обычный вектор. Тогда есть просто скалярное произведение двух векторов, величина которого не меняется от перестановки сомножителей.
Значит, в процессе преобразования и постоянный вектор оказался как бы вынесенным за знак производной.
Т.о. в результате такого преобразования получили новый оператор дифференцирования ( )… , который в отличие от является скалярным, а не векторным.
Примечание:
Для преобразования членов ( ) и ( ) необходимо искать формулы в векторной алгебре, которые включали бы комплексы типа ( ∙ ).
Оказывается, что такой комплекс есть в разложении двойного векторного произведения: ( ∙ ) = ( + ( ∙ ) .
После проведения преобразований величины, принятые временно как постоянные, будем (можно) снова считать переменными.
Т.о. равенство (3.25) можно записать:
(3.26)
Замечание:
Т.к. после введения нами нового оператора дифференцирования ( )… стоит переменная скалярная величина, то скобки, охватывающие этот оператор, можно не ставить.
Если бы за знаком ( )… следовал вектор, то они (скобки) были бы обязательны. В противном случае выражение , и так: ( , а про правилам действия над векторами .
Т.о. окончательно выражение (3.26) можно записать:
(3.27)
2. Найдем выражение для grad ( ∙ ), где и переменные векторы.
первый шаг: запишем:
(*)
Здесь мы не имеем права, как в предыдущем примере, делать преобразования вида:
т.к. знаки равенства в этих выражениях незаконны из-за справедливости .
Из векторной алгебры известно:
Т.о. заменив в этом отношении вектор на оператор Гамильтона , получим для первого слагаемого равенства (*) такое выражение:
Аналогично представляется и второе слагаемое (*):
Наконец, считая все векторы вновь переменными, запишем следующую зависимость:
(3.28)
Замечание 1:
В дальнейшем нас будет интересовать лишь частный случай этой формулы, когда оба вектора и равны вектору скорости.
Т.о из выр-я (3.28) автоматически получаем:
(3.29)
Замечание 2:
Введенные нами величины ( )… и … являются дифференциальными операторами первого порядка, причем один из этих операторов векторный, а другой – скалярный. Они как бы символизируют первую производную от функции пространственных переменных.
Примечание:
Рассмотренные рассуждения о лапласиане, дивергенции, градиенте и т.д. (полезно) необходимо помнить при чтении основных уравнению гидродинамики. Тогда, записанные в символах векторного анализа, они (эти уравнения) приобретают свойственную им физическую простоту и ясность.
Дата добавления: 2019-12-09; просмотров: 482;