Правила действия над тензорами

1. Операция транспонирования тензора

В тензоре (3.7), представленном матрицей, поменяем местами строчки и столбцы. В результате получим новый тензор α^*, который называется сопряженным тензору α:

т.е. имели раньше

получим: (3.8)

Замечание:

Тензор α^* отличается от α, т.к. элементы строки матрицы есть составляющие векторов, образующих тензор. Таким образом, тензоры α^* и α составлены из разных векторов.

2. Симметричный тензор

Если в матрице тензора составляющие расположенные симметрично главной диагонали (элементов α_xx, α_yy, α_zz) попарно равны (т.е. α_xy= α_yx; α_xz= α_zx, …), то такой тензор называется симметричным.

Замечание:

При транспонировании симметричный тензор не претерпевает изменений, т.е. α_с= α^*.

3. Антисимметричным или кососимметричным тензором называется тензор, образованный матрицей:

(3.9)

Т.е. в антисимметричном тензоре элементы главной диагонали есть нули, а остальные попарно равны и противоположны по знаку.

4. Умножение тензора на скаляр

Для того чтобы умножить тензор на скаляр, необходимо умножить на этот скаляр все элементы тензора.

Замечание:

В обычной алгебре умножение на -1 меняет знак сомножителя. В тензорной алгебре, как и в алгебре векторов, такое же действие приводит к аналогичному результату.

Т.е. если антисимметричный тензор умножить на -1, то он изменит свой знак, а это действие тождественно транспонированию антисимметричного тензора.

5. Сложение тензоров

Для сложения тензоров необходимо сложить все их одноименные составляющие.

Т.е. сложение тензоров осуществляется так же, как сложение векторов.

Например:

1)

(3.10)

это равенство можно рассматривать, как разложение тензора α на три других α₁; α₂; α₃.

2) Особенно примечателен случай такого разложения тензора (нам в дальнейшем понадобится):

(3.11)

где α^* тензор сопряженный тензором α.

Осуществим это разложение в явном виде:

(3.12)

Видим, что первый тензор есть симметричный, а второй - кососимметричный, т.о. мы установили теорему:

Всякий тензор может быть представлен в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров.

Ранее мы отмечали, что тензор составляется из векторов так же, как вектор составляется из чисел (скаляров), и в связи с этим записали равенства (3.6) и (3.7). С другой стороны, более привычное представление вектора имеет такой вид:

Аналогично можно представить и тензор

(3.13)

По форме записи два последних выражения совершенно тождественны. Различие заключается в том, что вместо скаляров α_x, α_y, α_z во втором равенстве стоят векторы , , , но это и есть как раз выражение того утверждения, что тензор составляется из векторов тем же способом, что вектор из чисел.

То обстоятельство, что в верхнем соотношении орты стоят после скаляров, несущественно, так как умножение скаляра на вектор справа и слева дает одинаковый результат и в этом смысле оба равенства можно записать похожим способом.

Замечание:

Для тензора местонахождение ортов около образующих его векторов имеет важное значение, поэтому уславливаются писать их впереди.

В равенстве (3.13) не определен никак знак умножение вектора на орты. Уславливаются называть такое умножение диадным и под ним понимают умножение без специальных правил, присущих, например, скалярному или векторному произведению. Тогда, имея в виду, что векторы , , могут быть представлены как суммы их составляющих, равенство (3.13) можно записать в виде следующей совокупности слагаемых:

(3.14)

Здесь , , и т.д. суть диадные произведения ортов.

Эти величины рассматриваются в качестве единичных фундаментальных тензоров, подобно тому, как орты , , трактуются как единичные фундаментальные вектора.

Замечание:

Сравнение равенств (3.8) и (3.14) показывает, что в матрице тензора стоят множители при единичных фундаментальных тензорах, подобно тому как в матрице (3.5) стоят множители при единичных фундаментальных векторах.

Рассмотрим равенство (3.13) и переставим в нем местами сомножители (орты и образующие тензор векторы). Тогда, производя перемножения, сопоставляя сумму аналогичную (3.14) и сравнивая множители при одинаковых фундаментальных тензорах, что получившаяся величина есть тензор, сопряженный α, т.е.

(3.15)

6. Умножение вектора на тензор

Правило:

Для умножения вектора на тензор необходимо скалярно умножить этот вектор на ближайший к нему вектор диады.

Примеры:

1)

2)

3)

4)

Следствия:

1) Из первого и второго следует, что произведение вектора на тензор слева не равно произведению вектора на тензор справа (т.е. эта операция не коммутативна)

2) Из третьего и четвертого следует, что величина произведения не изменится, если при перестановке сомножителей тензор заменить на сопряженный.

7. Единичный тензор

(3.16)

Замечание:

1. Умножение любого вектора на единичный тензор не приводит к изменению этого вектора (т.е. единичный тензор преобразует вектор сам в себя).

2. Умножение скалярной величины на единичный тензор приводит к образованию тензора, подобно тому, как умножение скаляра на единичный вектор в результате дает вектор.