Интегрирование квадратичных иррациональностей.

Квадратичной иррациональностью называется выражение вида: где a, b, c – некоторые вещественные числа, R(x, y)-рациональная функция от двух переменных.

Будем считать, что квадратный трехчлен не имеет кратных корней. Покажем, что интеграл от выражения такого типа рационализируется с помощью подстановок Эйлера.

Рассмотрим сначала случай, когда квадратный трехчлен не имеет действительных корней. Так как трехчлен стоит под знаком квадратного радикала, то его значения должны быть не отрицательны . Покажем, что в этом случае может быть использована первая подстановка Эйлера.

найдем значения х через величину t.

, , , .

Найдем величину дифференциала dx:

, .

То есть дифференциал х является рациональной функцией переменой t.

Найдем выражение для квадратного радикала:

Таким образом, квадратичная рациональность интеграла принимает вид:

Если величина С неотрицательна, то для рационализации может быть использована вторая подстановка Эйлера.

введем новую переменную

, , ,

,

Видим, что вторая подстановка Эйлера также рационализирует квадратичную иррациональность.

Рассмотрим случай, когда имеет действительные корни, то есть многочлен можно представить в виде: , где - корни квадратного трехчлена. В этом случае рационализация достигается с помощью третьей подстановки Эйлера, которая имеет вид:

, , ,

, ,

Таким образом, квадратичная иррациональность примет вид:

Пример: Вычислить интеграл

Рассмотрим квадратный трехчлен . Квадратный трёхчлен не имеет действительных корней. Используем первую подстановку Эйлера.

, , , , ;

, ,