Решения дифференциального уравнения установившегося потенциального одномерного потока

Задача исследования установившегося фильтрационного потока заключается в определении дебита (расхода), давления, градиента давления и скорости фильтрации в любой точке потока, а также в установлении закона движения частиц жидкости (или газа) вдоль их траекторий и в определении средневзвешенного по объёму порового пространства пластового давления.

При вытеснении флюида из пласта или его нагнетания в пласт через галерею или скважину условимся принимать за координату произвольной точки пласта расстояние r до этой точки от:

1) галереи (для прямолинейно- параллельного потока);

2) центра контура скважины в основной плоскости (плоскости подошвы пласта) фильтрации (для плоскорадиального потока).

В случае одномерного потока пласт представляется своего рода укрупнённой трубкой тока, а из условия неразрывности потока следует, что при установившейся одномерной фильтрации расход массы жидкости в единицу времени (массовый дебит G) через все изобарические (эквипотенциальные) поверхности, определяемые уравнением r = const, в трубке тока будет один и тот же. Таким образом:

r u = G /F( r ), (6.1)

где F = F(r) – площадь эквипотенциальной поверхности в функции координаты r.

Величины площади одномерных потоков:

прямолинейно-параллельный поток : F( r ) = Bh;

плоскорадиальный поток: F( r ) = 2p h r.

Положительный массовый дебит будет, когда r отсчитывается от стока, т. е. галерея или скважина – эксплуатационная. Приравнивая правые части (4.8) и (6.1), получим дифференциальное уравнение прямолинейно-параллельного потенциального одномерного потока:

(6.2)

Разделив в (6.2) переменные и проинтегрировав, получим:

, (6.3)

где С – произвольная постоянная, определяемая из граничных условий.

При плоскорадиальном потоке имеем дифференциальное уравнение:

(6.4)

Его решение:

(6.5)

Найдем единственное решение, соответствующее заданным граничным условиям, т. е. определим постоянную С. Наиболее часто представляются два варианта задачи.

1. Известны: постоянный массовый дебит G и значение потенциала j на одной из граничных поверхностей пласта, например, на питающем контуре эксплуатационной галереи или скважины ( G=G₀=const, j = j _к при r = r_к ). Подставляя данные значения в (6.4) получим:

(6.6)

Для замыкания данного уравнения необходимо соотношение для массового дебита:

G=G₀=const.

2. Известны: значения потенциалов на двух граничных поверхностях пласта, например, на забое скважины и на контуре питания пласта. Таким образом j = j _с при r = r_c ; j = j _к при r = R_к . Подставляя в равенство (6.4) один раз значения R_к и j _к, а другой раз значения j _с и r_c, исключая из двух полученных уравнений постоянную С, найдём массовый дебит G:

(6.7)

В случае плоскорадиального потока соответственно рассмотренным выше двум вариантам задачи и поставленным граничным условиям получим равенства:

(6.8)

(6.9)