Основные определения и геометрические трактовки
Комплексным числом zназывается выражение следующего вида
где x, y Î , i — это мнимая единица, определяемая равенством .
Основные термины:
x = Re z — действительная часть комплексного числа z;
y = Im z — мнимая часть комплексного числа z;
— комплексно сопряженное число числу z;
— противоположное число числу z;
— комплексный ноль;
– так обозначается множество комплексных чисел.
Примеры (комплексные числа)
1) z = 1 + i Þ Re z = 1, Im z = 1, = 1 – i, = –1 – i;
2) z = –1 + i Þ Re z = –1, Im z = , = –1 – i, = –1 – i;
3) z = 5 + 0i = 5 Þ Re z = 5, Im z = 0, = 5 – 0i = 5, = –5 – 0i = –5
Þ если Im z = 0, то z = x — действительное число;
4) z = 0 + 3i = 3i Þ Re z = 0, Im z = 3, = 0 – 3i = –3i, = –0 – 3i = – 3i
Þ если Re z = 0, то z = iy — чисто мнимое число.
Комплексные равенства
Равенство двух комплексных чиселозначает равенство дейсствительных частей и равенство мнимых частей этих чисел; равенство комплексного числа нулюозначает, что действительная и мнимая части этого числа равны нулю.
1) 2)
Одно комплексное равенство равносильно системе двух действительных равенств. Эти действительные равенства получаются из комплексного равенства процедурой, которая называется разделением действительных и мнимых частей в комплексном равенстве.
Например, 1) ;
2) .
Геометрическое изображение комплексных чисел
Любое комплексное число z изображается на комплексной плоскости точкой или радиус-вектором этой точки, (рис.79).
Рис. 79 |
Знак z во второй четверти означает, что система декартовых координат будет использоваться как комплексная плоскость. При этом ось абсцисс OX называется действительной осью, ось ординат OY называется мнимой осью.
Дата добавления: 2021-07-22; просмотров: 353;