Корень натуральной степени из комплексного числа
Корнем степени n из комплексного числа z, где , называется комплексное число w, такое что
.
Например, 1) , так как ;
2) , так как ;
3) или , так как и .
Из определения очевидно следует, что операция извлечения корня из комплексного числа является многозначной.
Если использовать формулу Муавра, то нетрудно доказать следующее утверждение.
Теорема о значениях корня из комплексного числа |
Корень натуральной степени существует для любого комплексного числа и если ¹ 0, то имеет различных значений, вычисляемых по формуле Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа (8) где , — значение арифметического корня на . |
Геометрически, все значения расположены регулярным образом на окружности радиусом с начальным углом и углом регулярности .
Примеры (вычисление корня из комплексных чисел)
1) , k = 0, 1, 2 Þ
,
,
.
2)
,
, .
Нетрудно показать, что корень квадратный существует на множестве комплексных чисел для любых и имеет два противоположных значения при : .
Дата добавления: 2021-07-22; просмотров: 333;