Алгебраические и трансцендентные функции

В множестве элементарных функций выделяют алгебраические и трансцендентные функции.

Алгебраическими функцияминазывают целые многочлены, рациональные дроби и иррациональные функции.

Например, ; ; .

Трансцендентными функцияминазывают элементарные функции, не являющиеся алгебраическими.

Например, ; ; .

Среди алгебраических функций выделяются целые многочлены и рациональные дроби.

Целым многочленом (полиномом)степени n относительно переменной x называется функция следующего вида:

(1)

здесь — степень многочлена;

– коэффициенты многочлена (числа или параметры);

­– старший коэффициент.

Примеры (целые многочлены)

1) – многочлен первой степени;

2) — квадратный трехчлен, или квадратичная функция;

3) — многочлен нулевой степени;

4) - многочлен 10-й степени.

График квадратичной функции

Функция называется квадратичной функцией.

Число называется дискриминантом квадратного трехчлена.

Графиком квадратичной функции является парабола, ее положение относительно координатных осей определяется знаком старшего коэффициента a и значением дискриминанта D (см. таблицу на рис. 59).

Рис.59

Здесь x₁, x₂ — это нули квадратичной функции,
вычисленные как корни квадратного уравнения Þ , если ;
— абсцисса вершины параболы (точка экстремума);
— ордината вершины (экстремум квадратичной функции).

Иррациональные функции— это такие алгебраические функции , у которых выражение содержит корни различных степеней.

Например, 1) ; 2) ; 3) .

Рациональные дроби

Рациональной дробью (рациональной функцией)называется функция, записанная как отношение двух целых многочленов:

, (2)

где , .

Например,

; ; .

Рациональная функция (2) называется правильной рациональной дробью, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, то есть если , и называется неправильной рациональной дробью, если степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе, то есть если .

Например, в предыдущем примере: — правильная рациональная дробь,

и — это неправильные рациональные дроби.

Делением многочлена на многочлен «в столбик» любую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы целого многочлена и правильной рациональной дроби. Эта процедура называется выделением целой части в неправильной рациональной дроби.

Примеры (выделение целой части в неправильной рациональной дроби)

1) ,	так как
2) ,	так как

Простейшими (элементарными) рациональными дробяминазываются следующие правильные дроби вида I-IV:

I. II. , k = 2, 3…	III. , IV. , k = 2, 3,…
при этом D = b2 – 4ac < 0, так что уравнение ax2 + bx + c = 0 не имеет корней на .

Справедливо следующее важное свойство правильных рациональных дробей.

Свойство (о разложении правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей)

Любую правильную рациональную дробь можно единственным образом представить в виде суммы простейших дробей вида I, II, III, IV. Для этого нужно: 1) многочлен в знаменателе правильной рациональной дроби разложить на произведение линейных и квадратичных сомножителей с действительными коэффициентами;   2) записать простейшие дроби для каждого множителя знаменателя: для простого множителя записать дробь вида I : для кратного линейного множителя записать сумму дробей вида I и II :   для квадратичного множителя записать дробь вида III: ; для кратного квадратичного множителя записать сумму дробей вида III, IV: ;   3) неопределённые коэффициенты в числителях простейших дробей найти из условия тождественного равенства исходной дроби и записанной суммы простейших дробей.

Примеры (разложение правильных рациональных дробей на сумму
простейших дробей)

1)

2)

3)

4)

Вычислим неопределенные коэффициенты в разложениях 1) и 3):

1)

так как тождественно равны две дроби с одинаковыми знаменателями, то тождественно равны их числители:

1 º A(x + 3) + B(x – 2); (*)

вычисляем числа А и В, используя метод частных значений x, суть которого состоит в следующем: тождественное равенство двух многочленов относительно x означает, что равны значения этих многочленов при любых частных значениях x;
в рассматриваемом примере удобными частными значениями x являются x = 2 и x = -3. подставим эти значения x в последнее равенство (*):

при x = 2 получим

при x = –3 получим

вычислив неопределенные коэффициенты, обязательно нужно делать проверку получившемуся разложению:

таким образом, неопределенные коэффициенты вычислены верно, и разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби имеет вид:

;

3)

для нахождения чисел А, В, С можно также использовать способ приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях x, который основан на следующем свойстве целых многочленов: тождественное равенство двух многочленов означает совпадение их коэффициентов при одинаковых степенях x;

в рассматриваемом примере в последнем равенстве справа раскроем скобки и приведем подобные по x:

приравниваем коэффициенты при x2:
приравниваем коэффициенты при x1:
приравниваем коэффициенты при x0:

в результате получилась система трёх линейных уравнений относительно трёх неизвестных А, В, С. Решаем эту систему:

таким образом, неопределенные коэффициенты вычислены. Подставляем их в искомое разложение и обязательно делаем проверку:

— верно.

Ответ: