Решение задачи о нахождении обратной функции

Постановка задачи

Для каждой из следующих функций найти обратную функцию . Построить графики обеих функций в одной системе координат, записать для каждой функции область определения и область значений:

1. ; 2. .

Решение

Строим график функции и проверяем биективность отображения множеств, описываемого этой функцией:

графиком является часть квадратичной параболы типа , имеющей вершину в точке (-1;2); по графику определяем, что имеем биективное отображение , следовательно обратная функция существует.

Для нахождения обратной функции сначала разрешаем уравнение относительно x:

, где ;

получилась обратная функция в виде

.

Теперь в обратной функции переобозначаем аргумент на x, а

функцию на y:

, где ;

в результате получилась обратная функция в искомом виде:

.

Строим графики обеих взаимно обратных функций и в одной системе координат и подтверждаем их симметричность относительно прямой y = x.

Ответ: если ,

то ;

, ; , .

2. ;

так как отображение, задаваемое данной функцией, является биективным, то обратная функция существует.

Выражаем x через y из равенства, задающего данную функцию:

;

переобозначим y на x, а x на y: ;

это и есть искомая обратная функция.

Строим графики обеих взаимно обратных функций в одной системе координат, подтверждаем их симметричность относительно прямой и записываем ответ.

Ответ: если ,

то ;

, ;

.