Периодичность функции

Функция называется периодической функцией, если существует число , такое что верно равенство

График периодической функции имеет повторяющиеся участки на каждом промежутке длиной T. Наименьшее из чисел T называется наименьшим периодом функции. По умолчанию буквой Т обозначают именно наименьший период, (рис.47).

Рис.47

Исследование периодической функции и построение ее графика следует проводить на промежутке, длина которого равна наименьшему периоду функции; этот промежуток часто называют основным промежутком для периодической функции.

Ниже перечислены некоторые свойства периодических функций.

Периодическая функция не может быть задана на множестве, ограниченном сверху или ограниченном снизу.

Например, функция , не является периодической.

Если число является периодом функции , то число , где , также является ее периодом.

Например, функция , является периодической, её наименьший период и числа , также являются ее периодами.

Если число – это наименьший период функции , то функция является также периодической и ее наименьший период равен числу .

Например, функция , является периодической и ее наименьший период равен .

При сложении двух периодических функций с одинаковыми ООФ получается периодическая функция, причем ее наименьший период делится нацело на и на , где , – это наименьшие периоды слагаемых.

Например, – периодическая с , – периодическая с – периодическая с , так как и .

Примеры (исследование периодичности функций)

1. Является ли функция периодической? Чему равен ее наименьший период?

Решение

Известно, что основная элементарная функция является периодической с наименьшим периодом .

Проверим равенство для данной функции:

По выполнению равенства заключаем, что данная функция является периодической с периодом . Чтобы найти наименьший период, понизим степень выражения по известной тригонометрической формуле: .

Тогда .

Теперь имеем сумму двух периодических функций:

, ,

, периодом является любое положительное число;

следовательно, данная функция имеет наименьший период ; поэтому исследовать ее свойства и строить график достаточно на основном промежутке, например при , а затем сделать периодическое продолжение на всю ООФ.

Ответ: функция является периодической с наименьшим периодом .

2. Является ли функция периодической?

Решение

Данная сложная функция не является периодической, так как не является периодической её промежуточная функция , "искажающая" те значения аргумента x, для которых одинаковые значения имела бы функция .

Для иллюстрации сказанного проверим расположение нулей данной функции:

Имеем множество всех нулей функции:

Видим, что нули функции располагаются непериодически на оси OX. Следовательно, данная функция не является периодической (так как в противном случае все её свойства, в том числе и нули, повторялись бы периодически).

Ответ: функция не является периодической.

3. Укажите, какие из следующих функций являются периодическими?

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Решение

1) функция периодической не является, так как равенство не выполняется, например, для точки , потому что точка из-за ограниченности снизу ООФ, (рис.48);

2) функция периодической не является, так как равенство не выполняется, например, для точки , (рис.49);

Рис.48 Рис.49

3) функция является периодической с наименьшим периодом , что хорошо видно по ее графику на рис. 50;

4) функция является периодической с наименьшим периодом , что хорошо видно по ее графику на рис. 51;

Рис. 50 Рис.51

Ответ: периодическими являются только функции 3) и 4).