Постановка и структуризация задачи при математическом моделировании технологического процесса

Этап постановки задачи не формализуется и определяется знаниями, опытом специалистов по анализу объектов исследования. Особое значение имеет определение масштабности задачи, разбиение задачи на отдельные подзадачи.

На данном этапе составляется параметрическая схема исследуемого процесса, подход к которой основанный на идее “черного ящика”. Практически любой объект исследования можно представить в виде “черного ящика”, механизм которого неизвестен или известен не полностью.

Все технологические объекты пищевой промышленности характеризуются входными переменными (факторами) и выходными переменными. Входные факторы обычно делятся на управляемые, неуправляемые и неконтролируемые или факторы возмущения.

Управляемые факторы - обычно обозначают х₁, х₂, х₃, ... х_к, где к - число управляемых факторов. Их можно фиксировать на определенных значениях - уровнях или варьировать в процессе экспериментирования. Эти переменные являются еще и независимыми, т.е. они сами не являются функциями каких-либо факторов и их значения определяются волей экспериментатора.

	неуправляемые факторы z1 z2 ... zg

	управляемые факторы
		выходные параметры

у1 у2 ... уn

х1 х2 ... хк

Объект

		w1 w2 ... wi неконтролируемые (возмущающие) факторы

Рис. 2 Параметрическая модель процесса.

Неуправляемые факторы - z₁, z₂, z₃, ... , z_g, где g – число неуправляемых факторов. Эти факторы уже не являются управляемыми, их нельзя изменять, но их можно измерять и учитывать в ходе эксперимента.

Неконтролируемые или возмущающие факторы - w₁, w₂, w₃, ..., w_i, где i- число возмущающих факторов. Эти переменные могут изменяться произвольно в ходе эксперимента. Их называют стохастическими факторами. Эта группа является наиболее неблагоприятной. Чем большее влияние она оказывает на исследуемый процесс, тем труднее решаются задачи оптимизации.

Описанные группы факторов влияют на выходные переменные процесса. Обозначим их у₁, у₂, у₃, ... , у_n. Эти переменные являются зависимыми и являются характеристиками свойств или качеств объекта, называют откликом, а зависимость отклика от рассматриваемых факторов - функцией отклика. Геометрическое представление функции отклика в факторном пространстве называют поверхностью отклика. Функцию отклика называют также целевой функцией, имея в виду, что при проведении эксперимента с целью нахождения оптимальных условий она является критерием оптимальности.

Задача оптимального управления технологическими объектами может быть сформулирована следующим образом. При произвольном сочетании возмущающих факторов w_i определить и реализовать такие значения управляемых воздействий x_к, при которых целевая функция у_n будет экстремальна и будут выполняться все ограничения, наложенные на переменные.

Определение параметра оптимизации

При планировании и проведении эксперимента особое значение придается выбору параметра оптимизации. Существенную роль при выборе параметров оптимизации играет уровень априорных сведений об объекте исследования. При исследовании объектов хлебопекарного производства в качестве выходных параметров используются показатели свойств теста (кислотность, ОВП, рН, подъемная сила, активность дрожжей или молочно-кислых бактерий, структурно-механические свойства полуфабрикатов, адгезионные свойства, газообразующая способность, газо-удерживающая способность и др.), качества готовых изделий (удельный объем, пористость, влажность, кислотность, сжимаемость мякиша, свойства мякиша при хранении), выход готовых изделий и т.д.

Выход процесса определяется количественно. Он позволяет оценить интенсивность процесса, имеет ясный физический смысл, способствует пониманию протекающих процессов при экспериментировании.

Реальные ситуации требуют одновременного учета нескольких или очень многих параметров оптимизации. Поэтому исследователи пользуются следующими приемами их ограничения:

- при выборе откликов число оцениваемых показателей сокращают до минимального, на остальные показатели накладывают разумные ограничения;

- последовательная оптимизация объекта по наиболее важным параметрам;

- переход к обобщенным параметрам оптимизации (балльная оценка).

Параметр оптимизации должен отвечать следующим требованиям:

-являться эффективным с точки зрения достижения поставленной исследователем цели;

- носить универсальный характер;

- выражаться количественно, иметь числовое значение;

- иметь физический смысл, быть простым и легко вычисляемым;

- существовать для всех исследуемых входных переменных.

Определение факторов экспериментирования.

Фактором называется измеряемая переменная величина, принимающая в некоторый момент времени определенное значение. Фактор характеризует соответствующий способ воздействия внешней среды на объект.

Следующим этапом после выбора параметра оптимизации является определение всех существующих факторов, влияющих на изучаемый процесс. Факторы могут быть качественные и количественные.

Применительно к технологии хлебопекарного производства к качественным факторам относятся способ приготовления теста, способ замеса полуфабрикатов, вид рецептурного компонента и т.д.

Продолжительность процесса, его температура, влажность полуфабрикатов, количество рецептурных компонентов - наиболее часто встречающиеся количественные факторы.

Каждый фактор имеет область определения и считается заданным, если вместе с его названием указана область его определения, т.е. совокупность всех значений, которые он может принимать. В практических задачах области определений факторов ограничены нижним и верхним значениями.

При планировании и проведении эксперимента к факторам предъявляются следующие требования:

- факторы должны быть управляемыми, это означает возможность их одновременной установки на выбранных уровнях и поддержания этих значений в течение опыта;

- факторы должны быть однозначными и непосредственно воздействовать на объект исследования. В эксперименте могут участвовать сложные факторы, такие как соотношения между компонентами и т.д.;

- точность замера факторов должна быть как можно более высокой, в соответствии с поставленной задачи;

- совместимость факторов, означающая осуществимость их комбинации;

- независимость, как возможность установления фактора на любом уровне вне зависимости от уровней других факторов.

При активном планировании любой фактор должен быть управляемым - чтобы его значения можно было устанавливать на разных уровнях. В многофакторном активном эксперименте факторы должны быть независимыми - чтобы любой из них мог устанавливаться независимо от уровней других факторов

Выбор факторов экспериментирования непосредственно связан с обобщенными, качественными знаниями об объекте управления. Источником информации является специалист с его опытом, знаниями и квалификацией. Задача выделения единичных показателей из множества для каждой стадии производства хлеба решается методом априорного ранжирования факторов (метод экспертных оценок).

Метод априорного ранжирования факторов применяется, если их количество нужно уменьшить в 2-3- раза.

Особое значение при проведении эксперимента имеет поддержание количественных факторов, влияющих на изучаемый процесс, на постоянном уровне.

Определение локальной области экспериментирования.

Каждый фактор имеет область экспериментирования и считается заданным, если вместе с его названием указана область его определения, т.е. совокупность всех значений, которые он может принимать. В практических задачах области определений факторов ограничены верхним и нижним значениями.

Область экспериментирования обычно выбирают, исходя из экспериментального интереса, опираясь на результаты анализа априорной информации и предварительного эксперимента, если он имел место.

Выбор области экспериментирования, как правило, начинают с выбора основного или нулевого уровня варьируемого фактора.

За нулевой уровень обычно принимают лучшее априори известное значение фактора. Нулевой и основной уровень выбирают для каждого фактора, включенного в программу исследований. В результате получают набор основных уровней исследуемых независимых переменных.

Следующий шаг - выбор интервала варьирования. При этом следует исходить из ожидаемой величины влияния данного фактора, учитывая при этом следующее:

- ошибку воспроизводимости опыта;

- степень близости к требуемому результату;

- выбранный план эксперимента;

-тип математической модели.

Изучаемый процесс в системе может быть охарактеризован некоторой зависимостью параметра оптимизации у_n от исследуемых факторов х₁, х₂, х₃, ... х_к, действующих в системе.

Методика описания математической зависимости определяется количеством исследуемых факторов.

Статистическое исследование стохастических процессов хлебопекарного производства имеет два подхода: регрессионный анализ, который базируется на обработке результатов пассивных экспериментов и планирование однофакторных и многофакторных экспериментов, основанных на обработке результатов активных экспериментов.

При пассивном эксперименте информация об исследуемом объекте накапливается путем пассивного наблюдения, т.е. информацию получают в условиях обычного функционирования объекта. Активный эксперимент проводится с применением искусственного воздействия на объект по специальной программе.

Активный эксперимент позволяет быстрее и эффективнее решать задачи исследования, но более сложен, требует больших материальных затрат и может помешать нормальному ходу технологического процесса. В некоторых случаях отсутствует возможность проведения активного эксперимента, тем не менее, учитывая его преимущества, в тех случаях, когда есть возможность к его проведению предпочтение отдают активному экспериментированию.

Основные понятия планирования эксперимента

Под планированием эксперимента понимается процедура выбора числа опытов и условий их проведения, необходимых для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Все переменные, определяющие изучаемый объект, изменяются одновременно по специальным правилам. Результаты эксперимента представляются в виде математической модели, обладающей определенными статистическими свойствами, например минимальной дисперсией оценок параметров модели.

Планирование эксперимента – выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям, совокупность действий направленных на разработку стратегии экспериментирования (от получения априорной информации до получения работоспособной математической модели или определения оптимальных условий). Это целенаправленное управление экспериментом, реализуемое в условиях неполного знания механизма изучаемого явления.

В процессе измерений, последующей обработки данных, а также формализации результатов в виде математической модели, возникают погрешности и теряется часть информации, содержащейся в исходных данных. Применение методов планирования эксперимента позволяет определить погрешность математической модели и судить о ее адекватности. Если точность модели оказывается недостаточной, то применение методов планирования эксперимента позволяет модернизировать математическую модель с проведением дополнительных опытов без потери предыдущей информации и с минимальными затратами.

Цель планирования эксперимента – нахождение таких условий и правил проведения опытов, при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности.

Среди основных методов планирования, применяемых на разных этапах исследования, используют:

· планирование отсеивающего эксперимента, основное значение которого - выделение из всей совокупности факторов группы существенных факторов, подлежащих дальнейшему детальному изучению;

· планирование эксперимента для дисперсионного анализа, т.е. составление планов для объектов с качественными факторами;

· планирование регрессионного эксперимента, позволяющего получать регрессионные модели (полиномиальные и иные);

· планирование экстремального эксперимента, в котором главная задача – экспериментальная оптимизация объекта исследования;

· планирование при изучении динамических процессов и т.д.

Основоположником планирования экспериментов является Рональд А. Фишер, направление получило дальнейшее развитие в работах Френка Йетса (Иэйтса), в трудах Дж. Е. Бокса, Дж. Кифера, К.В. Уилсона, В нашей стране - в трудах Г.К. Круга, Е.В. Маркова, В.В. Налимова.и др.

В настоящее время методы планирования эксперимента заложены в специализированных пакетах, широко представленных на рынке программных продуктов, например: StatGrapfics, Statistica, Matstat, SPSS, SYSTAT и др.