Построение обратной матрицы методом пополнения
Требуется найти обратную матрицу для данной невырожденной квадратной матрицы . За основу построения в методе пополнения берут матрицу той же размерности, что и , но с известной обратной матрицей. Примером такой матрицы может служить единичная матрица . На каждом шаге 1, 2, …, заменяется одна из строк рабочей матрицы строкой матрицы (пополнение) и строится . На –ом шаге получаем . Для пополнения матрицы используются: вспомогательная строка
(1)
и столбец единичной матрицы = (0; 0; ...1; 0; ..0)Т. Тогда справедливо: , (2)
и , (3)
где:
– число, определяемое по формуле:
, (4)
- –й столбец матрицы .
Описание одного шага метода пополнения.
1) Пополняем матрицу –й строкой матрицы
(формула (2)), в результате получаем .
1) Находим – формула (4).
2) Строим матрицу по формуле (3) или по столбцам:
, (j = 1, 2, …, ), (5)
где – –й столбец матрицы (верхний индекс – номер шага).
Метод пополнения удобно использовать в случае, когда известна матрица , а требуется найти для матрицы , отличающейся от несколькими строками.
Задача
Найти матрицу, обратную к матрице из задачи к п.6.2:
. Точность = 0,01.
Решение. Пусть , .
. , где
= (2;-4;5;0), = (1;0;0;0)T; =3; 0,333;
;
Выделим 2-й столбец матрицы : (1,332; 1; 0; 0)T.
. = , где
Вычислим
; -2,976, тогда
;
Здесь (–10,901; –6,934; 1; 0)T.
. , где
Вычисляем ; 1,034;
;
(–7,172; –4,108; 1,022; 1)T.
. , где
; ;
.
Проверив условия , , убеждаемся в правильности решения.
Ответ: .
Литература
[1], гл. II, работа №2; гл. III, работа №3.
[5], гл. II, §2.6, 2.12.
[8], гл. VIII, п.8.2.2.
Конспект лекций.
Дата добавления: 2021-07-22; просмотров: 435;