Построение обратной матрицы методом окаймления

Дана невырожденная матрица размерности . Требуется найти обратную матрицу , т.е. такую матрицу, что .

Схема метода окаймления следующая. Рассматриваем матрицы ,где , , …, , т.е. каждая следующая матрица получается из предыдущей “окаймлением” предыдущей матрицы строкой и столбцом матрицы . На каждом шаге 1, 2, …, строится матрица , обратная к . При этом, если матрицу представить в форме:

, где ,

то обратная к ней матрица будет иметь вид:

,

где:

– число: ; (1)

– столбец: ; (2)

– строка: ; (3)

– матрица: . (4).

Таким образом, для построения используется , построенная на предыдущем шаге. На –м шаге получаем .

Для упрощения расчетов при следует повторяющиеся элементы: , и вычислять отдельно.

Особенно удобен метод окаймления в случае, когда требуется найти , а матрица известна (здесь – матрица без последней строки и последнего столбца). В этом случае обращение матрицы осуществляется в 1 шаг. Можно рекомендовать этот метод для матриц большой размерности.

Задача

Получить матрицу, обратную матрице , при помощи метода окаймления. Выполнить проверку. Точность вычислений = 0,01.

.

Решение.

. 3; 0,333.

. ; здесь ; = - 4; .

;

;

;

.

Получаем: .

. ; здесь ; ; .

Сначала вычислим произведения

;

.

Теперь найдем ; ;

;

.

Получаем .

. ; (3; –1; 4); (0; 1; 2)^T; .

Вычисляем произведения:

^T.

Теперь находим

-12,321; -0,081;

(0,581; 0,333; –0,083)^T;

(–1,245; 4,726; –1,823);

.

Получаем обратную матрицу

.

Проверки.

;

.

Вывод: , обратная матрица построена верно.

Ответ: .