Использование матриц вращения для решения систем

Матрицей вращения называется ортогональная матрица размерности , полученная из единичной матрицы этой же размерности заменой 4–х элементов:

; ; ; где

Матрица имеет вид:

Пусть требуется решить систему линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей:

. (1) Если величины и вычислить по формулам

; , (2)

то, умножив матрицу А на слева, получим , где отличается от только двумя строками ( –ой и –ой), причем = 0. Например, левостороннее умножение системы (1) на матрицу , приводит к эквивалентной системе

,(*)

при этом изменяются 1–я и 2–я строки матрицы системы и 1–ый и 2–ой элементы столбца правых членов системы, а элемент новой матрицы, находящийся на пересечении второй строки и первого столбца, становится равным нулю. Далее умножаем систему (*) слева на

и т.д.

Для приведения исходной системы линейных уравнений к эквивалентной ей системе с верхней треугольной матрицей необходимо последовательно умножить (1) слева на цепочку ортогональных матриц

.

Таким образом, всего потребуется левосторонних умножений на матрицу вращения. Поскольку при каждом из таких умножений изменяются только 2 строки матрицы предыдущей системы и 2 элемента столбца , то умножения

, (4)

можно осуществлять по следующим формулам.

Для k = 0 ; .

Далее для k =1,2....; j = 1, 2, ...n -1; i = j +1, j+2, ...,n.

; , если ,

; ; (5)

; ;

где , – –я и –я строки матрицы ; и вычислены по формулам (2) с использованием элементов матрицы . Для удобства вычислений используют расширенную матрицу вида (A÷b), где (n+1)-ый столбец матрицы – это столбец свободных членов (см. п. 4.1.1).

Задача

Решить систему с использованием матриц вращения:

. Точность = 0,01.

Решение. Прямой ход.

k = 0. Построим расширенную матрицу

.

k = 1. Для обнуления элемента строим матрицу :

; .

Находим строки матрицы .

= (4; –1; 2; 5) – (3; 2; –1; -4) = (0; –2,2; 2; 6,2);

= (4; –1; 2; 5) + (3; 2; –1; -4) = (5; 0,4; 1; 1,6).

Результат: .

k = 2. Для обнуления элемента строим :

; .

= (12; 1; 1; 1) – (5; 0,4; 1; 1,6) (0; 0,015; –0,538; -1,092);

= (12; 1; 1; 1) + (5; 0,4; 1; 1,6) (13; 1,077; 1,308; 1,538).

Результат 2-го шага:

.

k = 3. Для обнуления элемента строим :

. ;

- (0; 0,015; –0,538; -1,092) – 0,007(0; –2,2; 2; 6,2)

(0; 0; 0,524;1,049);

0,007(0; 0,015; –0,538;-1,092) – (0; –2,2; 2; 6,2)

(0; 2,2; –2,004; -6,208).

Результат 3-го шага:

.

Обратный ход:

; ;

.

Ответ: ; ; .

4.5.2 Использование матриц отражения для решения систем

Матрицей отражения называется ортогональная матрица размерности , полученная из единичной матрицы этой же размерности следующим образом:

где – единичный вектор ( ), – матрица .

Если вектор получен с использованием элементов –го столбца матрицы А по формулам

; где

(0; 0; ..0; 1; 0; ...; 0)^T, (единица на -м месте);

(0; 0; ...0; ; ..... )^T; ,

то, умножив матрицу А на слева, получим матрицу , в которой все поддиагональные элементы j-го столбца , ..., равны нулю.