Схемы с выбором главного элемента


1. Схема с выбором главного элемента без перестановки столбцов.

На каждом из n -1 шагов прямого хода метода выбирают главный элемент как максимальный по модулю среди элементов соответствующего столбца преобразованной матрицы, расположенных на главной диагонали матрицы и ниже: , затем осуществляется перестановка уравнений системы (строк расширенной матрицы) так, чтобы строка с номером заняла k-е место, стала ведущей. После перестановки осуществляются расчеты по формулам (2)-(3) и переход к следующему шагу.

2. Схема с выбором главного элемента с перестановкой столбцов.

Выбор главного элемента на k-ом шаге прямого хода осуществляется среди всех элементов расширенной матрицы, за исключением элементов строк с номерами и элементов ( ) - го столбца. После этого осуществляется перестановка строк и столбцов расширенной матрицы таким образом, чтобы элемент стал ведущим, т.е переместился наместо . При этом необходимо хранить в памяти ЭВМ строку перестановок столбцов, чтобы восстановить порядок переменных при обратном ходе.

Схемы Гаусса просто реализуются и выгодны для систем с плотно заполненной матрицей (когда мало нулевых элементов). Число арифметических операций во всех схемах порядка n3. Если система плохо обусловлена, то точность не гарантируется.

Задачи

1. Решить систему методом Гаусса. Исходные данные считать верными в написанных знаках.

Решение. Прямой ход. Используем схему единственного деления. Все расчеты выполняем с запасным десятичным знаком, результаты заносим в таблицу.

№ шага  
k=0 5,64 -4,52 4,57 8,32 Ведущая строка –
  -2,17 1,36 -5,53 7,21 первая,
  8,77 -2,78 5,44 7,56 ведущий элемент .
k=1 -0,801 0,810 1,475 Ведущая строка –
  -0,379 -3,772 10,411 вторая,
  4,248 -1,666 -5,377 ведущий элемент .
k=2 -0,801 0,810 1,475  
  9,950 -27,464  
  -43,937 111,303 Прямой ход закончен.

Обратный ход: ; ; .

Невязки:

= 0,06.

Ответ: x1 = 1,72; x2 = -2,26; x3 = -2,53.

2. Решить систему методом Гаусса с выбором главного элемента с перестановкой столбцов. Исходные данные считать верными в написанных знаках.

Решение. Прямой ход. Заносим все вычисления в таблицу.

 

№ шага Порядок столбцов  
   
k=0 2,34 -1,84 -0,32 0,11 2,22 Главный элемент: .
  -1,19 0,43 -0,52 3,37 -5,26 Меняем местами
  0,33 0,61 7,75 -2,18 0,15 1-ю и 3-ю строки,
  -1,53 0,81 0,94 -4,82 -3,74 1-й и 3-й столбцы.
     
  7,75 0,61 0,33 -2,18 0,15 Ведущая строка: 1-я.
  -0,52 0,43 -1,19 3,37 -5,26  
  -0,32 -1,84 2,34 0,11 2,22  
  0,94 0,81 -1,53 -4,82 -3,74  
k=1 0,079 0,043 -0,281 0,019 Главный элемент:
  0,470 -1,168 3,224 -5,250 Меняем местами
  -1,815 2,354 0,020 2,226 2-ю и 4-ю строки,
  0,736 -1,570 -4,556 -3,758 2-й и 4-ый столбцы.
     
  -0,281 0,043 0,079 0,019 Ведущая строка: 2-я.
  -4,556 -1,570 0,736 -3,758  
  0,020 2,354 -1,815 2,226  
  3,224 -1,168 0,470 -5,250  
k=2    
  -0,281 0,043 0,079 0,019 Главный элемент:
  0,345 -1,162 0,825 на нужном месте,
  2,347 -1,812 2,210 перестановки не делаем.
  -2,279 0,992 -7,909 Ведущая строка: 3-я.
k=3    
  -0,281 0,043 0,079 0,019  
  0,345 -1,162 0,825  
  -0,772 0,942  
  -0,767 -5,764 Прямой ход закончен.

Обратный ход: ;

;

;

.

Невязки: ;

Ответ: x1 = 6,74; x2 = 7,51; x3 = -0,94; x4 = -0,28.

Метод Жордана

Этот метод, как и метод Гаусса, является методом исключения, предназначенным для системы линейных уравнений ( матрица А – невырожденная). Отличие от схем метода Гаусса в том, что путем преобразований матрица А приводится не к треугольному, а к диагональному виду. В результате исходная система линейных уравнений приобретает вид:

Обратный ход в схемах Жордана становится формальностью.



Дата добавления: 2021-07-22; просмотров: 337;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.01 сек.