Метод хорд и касательных
Преимущество этого метода в том, что при тех же предположениях относительно и , что и в методе Ньютона, мы получаем последовательные приближения и , лежащие по разные стороны от , поэтому можно следить за достигнутой точностью в процессе решения. Пусть и не меняют знак на .
Если , то расчеты ведут по формулам:
(9)
Если , то
(10)
За начальный промежуток принимают . В результате расчетов получаем последовательность вложенных промежутков , таких, что . В качестве критерия остановки расчетов может быть использовано выполнение неравенства: . Тогда приближенное решение считают равным .
Задачи
1. Уточнить корень уравнения ( ) методом деления отрезка пополам. Точность .
Решение. Так как процесс вычисления этим методом сходится медленно, уменьшим промежуток изоляции. Возьмем [-0,5; -0,2] [-1; 0]. Проверка: , следовательно, . Теперь уточняем корень.
Номер шага . .
Затем .находим . Вычисления производим с запасным десятичным знаком. Результаты расчетов заносим в таблицу. (Стрелки указывают перенос значений при и ).
0 | -0,5 | -0,2 | -0,35 | -0,331 <0 |
1 | -0,5 | -0,35 | -0,425 | 0,055 >0 |
2 | -0,425 | -0,35 | -0,3875 | -0,139 <0 |
-0,425 | -0,3875 | -0,406 | -0,044 <0 | |
-0,425 | -0,406 | -0,416 | 0,008 >0 | |
-0,416 | -0,406 | -0,411 |
Процесс закончен, т.к. :
Ответ: .
2. Составить расчетные формулы для определения методом простых итераций корней уравнения . Найти один из корней с точностью . Корни уравнения лежат в промежутках: (см. п. 2.1).
Решение. Для уточнения и можно использовать функцию , полученную из уравнения. Здесь ; . Условие сходимости выполнено и на промежутке [-1; -0,5], и на [1; 1,5], т.к. , если [-1; -0,5] и , если [1; 1,5]. Значит, для уточнения этих корней можно использовать расчетную формулу , .
Для уточнения эта формула не годится, т.к. терпит бесконечный разрыв в точке = -0,2 . Можно из исходного уравнения выразить по-другому: . Здесь . Условие выполнено при [-0,5; 0].
Уточним корень , используя формулу . В качестве можно взять любую точку промежутка изоляции, например, . Дальнейшие расчеты приведены в таблице.
-0,25 | |
-0,20098 | |
-0,20033 |
Расчеты закончены, т.к. 0,001. Ответ: .
3. Найти один из корней уравнения методом касательных и методом хорд с точностью 0,01.
Решение. Изоляция корня. Уравнение имеет 2 корня, причем . Проверка (для второго корня): .
Уточнение корня. а) Метод касательных.
Функция непрерывная, дважды дифференцируемая, . В качестве нужно взять тот конец промежутка [1; 2], где . Т.к. , то . Результаты расчетов приведены в таблице.
k | ||||
1,5 | ||||
1,5 | 0,25 | 1,417 | ||
1,417 | 0,008 |
Вычисления прекращаем, т.к. . Ответ: .
б) Метод хорд . Производные сохраняют знак на промежутке [1;2], т.к. и . Поскольку выполнено условие , считаем, что . Далее вычисляем по формуле:
.
Результаты расчетов заносим в таблицу.
k | ||
-1 | ||
1,333 | -0,222 | |
1,400 | -0,04 | |
1,412 | -0,007 |
Вычисления прекращаем, т.к. . Ответ: .
Дата добавления: 2021-07-22; просмотров: 367;