Динамики относительного движения точки.
Предположим, что система координат Oxyz может быть принята за абсолютную (неподвижную или галилееву) систему и что в этой системе координат движение точки определяется дифференциальным уравнением
где обозначает абсолютное ускорение точки. Чтобы составить уравнение движения по отношению к другой системе координат , движущейся заданным образом по отношению к абсолютной системе, вспомним кинематическую зависимость между абсолютным ускорением и относительным ускорением :
(3.11)
где — переносное ускорение, т. е. ускорение того пункта системы , через который проходит в данный момент рассматриваемая движущая точка, - кориолисово ускорение точки, обусловленное вращательным движением относительной системы по отношению к абсолютной системе Oxyz (гл 8,§3).
,
Подставляя значение ускорения из (3.11) в основное уравнение, получим:
Введем обозначения: , и условимся в дальнейшем опускать индекс « » у элементов относительного движения; тогда последнее равенство примет вид
(3.12)
Вектор называется переносной силой инерции, а - поворотной или кориолисовой силой инерции. Анализ формулы (3.12) приводит к следующему выводу: дифференциальные уравнения динамики относительного движения составляются так же, как и в абсолютной системе, только к непосредственно приложенным силам присоединяются еще силы инерции — переносная и кориолисова.
Если относительная система движется по отношению к абсолютной системе Oxyz поступательно, прямолинейно и равномерно, то она представляет галилееву систему, т. е. уравнение движения в ней не должно ничем отличаться от уравнения движения в абсолютной системе; действительно, в этом случае = =0, так что уравнение (3.12) совпадает с основным уравнением. В случае плоского движения относительной системы
при равномерном вращении (ε = 0) относительной системы вокруг неподвижной или равномерно и поступательно движущейся по отношению к абсолютной системе оси ( ) получим: , ( это центробежная сила). Кориолисова сила не будет входить в формулы относительного движения, если относительная система движется поступательно ( = 0) или если в силу характера связей точка вынуждена двигаться параллельно оси вращения ( ). Из уравнения относительного движения легко получить уравнения относительного равновесия. Для этого достаточно в формуле (3.12) положить = = 0; тогда уравнение относительного равновесия будет: =0.
Все, что сейчас говорилось по отношению к точке, может быть перенесено на случай любой системы точек. Прикладывая силы инерции, мы можем рассмотрение движения в относительной системе координат свести к тем же уравнениям, что и в абсолютной.
Пример 1. Найти условие относительного равновесия тяжелой точки на гладкой кривой данной формы, вращающейся равномерно вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω. Каков должен быть Рис 51
вид кривой для того, чтобы в любом положении на кривой точка была в относительном равновесии (рис. 51) Решение задачи сводится к применению метода кинетостатики. Точка М находится в относи тельном равновесии под влиянием сил: веса G, центробежной силы , где и реакции кривой которая направлена по нормали к кривой. Написав условие равновесия в проекции на касательную, получим:
G cos а — Se sin a = 0,
или после подстановки значения Se:
Отрезок rtg а = АВ представляет поднормаль кривой r = f(z), на которой находится точка М, и условие равновесия дается равенством . Заменяя перепишем условие относительного равновесия в виде
. (3.13)
Подставив получим значение ординаты , в которой при данном будет иметь место равновесие.
Для решения второго вопроса проинтегрируем уравнение (3.13). Найдем уравнение параболы: при вращении этой параболы с угловой скоростью тяжелый шарик будет в любой ее точке находиться в состоянии безразличного относительного равновесия. Как известно, свободная поверхность жидкости в сосуде, приведённом во вращение, принимает форму параболоида.
Пример 2. Относительное равновесие тяжелой точки вблизи поверхности Земли. Найдем условия относительного равновесия груза на нити (отвеса), принимая во внимание вращение Земли. Притяжение F (рис.51а) груза Землей искажается действием центробежной силы Se, так что вес тела, равный натяжению нити N, не будет равен F; кроме того, направление отвеса DM не совпадает с направлением радиуса МО Земли в данном пункте. Обозначим геоцентрическую широту, т. е. угол радиуса Земли с плоскостью земного экватора через λ, а географическую широту, т. е. угол отвесной линии с той же плоскостью, через φ. Уравнение относительного равновесия записываются в виде
,
проектируя силы на кажущуюся горизонталь НН, получим:
Заменим здесь Se и F по формулам , где m — масса груза, R — средний радиус Земли, - ускорение, вызываемое притяжением Земли; это ускорение не следует смешивать с кажущимся ускорением g, т. е. ускорением , искаженным центробежной силой. После замены получим:
Замечая, что угловая скорость Земли 1/сек, радиус Земли R=6350000м и ускорение =9,81 , получим:
так что разность очень мала и предыдущее уравнение можно записать в виде
Рис 51а
максимальное значение этой разности при φ= 45° будет:
что соответствует приблизительно 6'.
Проектируя силы на направление отвеса DM, найдем:
N= mg = F cos (φ -λ) — Se cosφ
или, вследствие малости угла (φ -λ), . Отсюда легко найти относительную разность между и g: Максимальное значение это отношение имеет на экваторе (φ = 0):
Если бы Земля вращалась примерно в 17 раз быстрее, то тела на экваторе не имели бы веса.
Переносной силой инерции, вызванной вращением Земли, объясняется также и сжатие Земли. Земля имеет форму геоида, т.е. тела, нормаль к поверхности которого совпадает в каждой точке с линией отвеса. Поверхность геоида можно заменить эллипсоидом вращения, сжатие которого по данным измерений равно .
Вопросы для самопроверки.
1. Напишите векторную формулу динамики относительного движения точки, что такое силы инерции.
2. Напишите векторную формулу силы сопротивления среды, прокомментируйте введенные обозначения.
3. Напишите в самом общем виде дифференциальные уравнения движения точки (в декартовой системе координат).
4. Напишите дифференциальные уравнения движения точки в осях натурального триэдра.
α |
h |
L |
6. С какой абсолютной скоростью сойдет колечко со стержня, если его длина равна L , начальное положение , угловая скорость вращения стержня ω. Стержень перпендикулярен оси вращения.
7. В чем разница между прямой и обратной (основной) задачами динамики?
8. Напишите уравнение относительного равновесия точки..
9. Составьте дифференциальное уравнения относительного движения колечка по стержню, вращающемуся с постоянной угловой скоростью ω, трение не учитывать.
10. Чему равно время движения точки на участке горизонтального
прямолинейного движения, если начальная скорость , а конечная ? Сила сопротивления среды равна .
11. Чему равен путь, пройденный точкой, на участке горизонтального прямолинейного движения, если начальная скорость , а конечная ? Сила сопротивления среды равна .
Глава 10.
Дата добавления: 2019-12-09; просмотров: 517;