Смена порядка интегрирования.

Любую прямоугольную таблицу можно суммировать сначала по строкам, и затем сложить все полученные результаты, а можно сначала по столбцам. Но в итоге всё равно получится сумма всех элементов. Подобное есть и для двойных интегралов. Можно разбить поверхность на сечения вдоль оси , а можно в перпендикулярном направлении, вдоль . Для прямоугольной области:

= .

Проблема возникает в том случае, когда область не прямоугольная. Там так просто заменить интегралы наоборот уже не получится, ведь границы внутреннего зависят от внешней переменной. В этом случае надо заново рассмотреть (с помощью чертежа) поведение одной переменной в зависимости от другой. Можно провести не вертикальные, а горизонтальные отрезки, и найти их пересечения с областью определения. Теперь нужны не верхняя и нижняя граница, а левая и правая.

Пример. Сменить порядок интегрирования .

Сначала построим чертёж. Закрасим область под параболой. Это область определения D функции двух переменных.

Глобальные границы по от 0 до 1, так как ниже 0 или выше 1 вообще нет точек этой фигуры Теперь надо узнать, от какой до какой абсциссы будет проходить горизонтальный отрезок внутри фигуры. Нужно границу записать с помощью обратной функции: . Горизонтальная линия чем выше, тем позже начинается, а именно от линии , а заканчивается всё время при .

Итак, = .