Приложения определённых интегралов.
Пункт 1. Вычисление площадей фигур.
Так как площадь криволинейной трапеции связана с интегралом, то это приложение очевидно. Но есть особенности, связанные со строением геометрической фигуры, в некоторых случаях надо разбить фигуру на несколько частей.
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .
Решение. Построим чертёж:
Так как верхняя граница после точки 1 переходит с одной кривой на другую, то придётся разбить на сумму двух вычислений по каждой части отдельно: + . Итак, получим = = = .
Пункт 2. Вычисление объёмов тел вращения.
Если график функции вращать вокруг оси 0x, то получится так называемое тело вращения. Каждое сечение плоскостью, паерпендикулярной оси 0x , это круг, его площадь равна , так как это как раз и есть радиус (равно удалению вращающейся точки от оси вращения). В итоге, .
Пример. Вывести этим методом формулу объёма шара .
Решение. Чтобы получить шар, достаточно вращать верхнюю полуокружность, которая задаётся такой функцией: .
= = =
= = .
Пункт 3. Вычисление длины дуги кривой.
Формула для явно заданной кривой: .
Доказательство.Разобьём область определения на n частей, рассмотрим подробнее одну часть графика.
Длина фрагмента кривой приближённо равна гипотенузе. При этом, тангенс угла наклона равен производной. Поэтому, если горизонтальный катет то вертикальный равен . Но в этом случае гипотенуза, по теореме Пифагора, равна:
= = .
При переходе к пределу при , получится .
Чем круче наклон фрагмента графика, тем больше величина , и тем больше корень и соответственно, длина части этой кривой. Напротив, если график горизонтальный (функция = константа) то = . Длина такой кривой просто равна длине отрезка в области определения, то есть .
Для параметрически заданной в плоскости формула принимает такой вид: .
В трёхмерном пространстве: .
Длина кривой в полярной системе координат.
Пусть кривая задана формулой .
Тогда: .
Доказательство этой формулы. Рассмотрим формулы взаимосвязи между полярными и декартовыми координатами:
Теперь применим параметр таким же образом, как в прошлой формуле был параметр .
, .
Найдём производные:
Их надо подставить в формулу: .
применим формулу сокращённого умножения в каждом квадрате под корнем. Там получатся квадраты и удвоенные произведения, которые, впрочем, сократятся, ведь они будут разного знака. Выражение под корнем преобразуется так:
=
+
=
=
.
Поэтому и получается в итоге: .
ЛЕКЦИЯ № 4. 07.03.2017
Дата добавления: 2017-04-05; просмотров: 1222;