Сферические координаты.

Эта система очень сильно похожа на географические координаты на планете. Если соединим точку кратчайшей линией теперь не с осью , а с точкой , и именно это расстояние обозначим , то чертёж получается несколько иной, чем в прошлом случае.

Угол между отрезком, соединяющим с началом координат, и вертикальной осью, обозначим (греческая буква «тетта»), а угол в горизонтальной плоскости между осью и его проекцией обозначим .

Координата , равная расстоянию OP, это прилежащий катет угла , таким образом, .

Расстояние PM = ON, обозначенное буквой А на правом чертеже, это противолежащий катет, поэтому . А в треугольнике в плоскости , это А является гипотенузой, где , . Поэтому в итоге получаем:

.

Здесь это и есть , если географическая широта. В этой системе «широта» фактически отмеряется от северного полюса, на экваторе она равна 90 градусов, а на южном полюсе 180. Угол это аналог географической долготы.

Диапазоны изменения таковы: , ,

Рассматривать нет смысла, потому что до этой же самой точки можно будет от северного полюса провести более короткую дугу с другой стороны, по другому мередиану, при .

Для сферических координат якобиан: . Выведем в качестве задачи на практике.

Известно, что площадь сферы пропорциональная квадрату расстояния от центра, и как видим, в определителе Якоби присутствует . Появление также не случайно и физически понятно: ведь при приближении к полюсу, площадь сегмента сферы между соседними широтами меньше, чем на экваторе. Так, между 0 и 10 градусов помещается много экваториальных стран, а длина экватора 40 тыс.км, а вот между 80 и 90 градусов - очень небольшая территория, и параллель 80⁰ намного короче, чем 10⁰.

Пример. С помощью сферических координат вывести формулу объёма шара .

Решение. В этом примере надо рассматривать функцию .

Для шара, , , .

Функция равна 1, и её умножаем на якобиан.

= = =

= = .