Критическая скорость, критическое давление, максимальный расход

Исследование формул (8.8) и (8.10) показывает, что с уменьшением давления р₂ увеличиваются значения v₂ и w. Но в начале адиабатного расширения скорость w увеличивается быстрее, чем объем v₂, и расход М. растет. Достигнув некоторого максимума при β = р₂/p₁ = 0,5, расход М начинает уменьшаться. Это происходит потому, что при дальнейшем

уменьшении отношения p₂/p₁ скорость w растет медленнее, чем объем v₂. При р₂ = 0 w w_макс, a v₂ , следовательно, М 0 и кривая M = j (β) принимает форму параболы (см. рис. 8.4).

Опыт, однако, показывает, что изменение расхода М после достижения максимума М_макс при дальнейшем уменьшении р₂ и вместе с ним β следует не по пунктирной линии ВО, а по горизонтали BD. Такое расхождение с формулой (8.10) объясняется тем, что, понижая постепенно давление р₂, будем получать давление в устье сопла, равное р₂, только до значения p_2кр/p₁ 0,5. При дальнейшем уменьшении этого отношения, т. е. при снижении давления р₂ в среде, куда втекает газ, давление в устье сопла р_у не понижается, а остается постоянным, происходит как бы «запирание» сопла. Это остающееся постоянным в устье сопла давление, которое нельзя понизить, уменьшив давление в среде, куда происходит истечение, называется критическим и обозначается р_2кр, а отношение p_2кр/p₁ обозначается β_Kp.

Формула (8.10) дает соответствующее действительности значение расхода, если в ней и при р₂/p₁ < β_Kp рассматривать р₂ как давление в устье сопла, а не как давление среды, в которую втекает газ. Вместе с этим в устье сопла остаются постоянными и удельный объем v_2|кр, и скорость истечения w_кр, несмотря на уменьшение давления среды р₂.

Секундный расход М, достигающий при β_Kp максимального значения М_макс, также остается постоянным и не зависит от дальнейшего понижения р₂. Поэтому, начиная от β_Kp, действительные кривые расхода и скорости (см. рис. 8.4) изобразятся прямыми, параллельными оси абсцисс.

Рассмотренное явление объясняется тем, что устанавливающаяся при β = β_кр критическая скорость истечения является максимальной и превысить ее для суживающихся сопел не представляется возможным [см. уравнение (8.17)]. Следовательно:

Обобщая все сказанное, устанавливаем в соответствии с уравнением (8.10), что расход М газа данных параметров зависит от сечения f и давления в устье сопла р_у.

Для определения β_кр нужно найти отношение р₂/p₁, при котором функция М = j(р₂/p₁) достигает максимального значения. Для этого нужно взять первую производную от этой функции, приравнять ее к нулю и найти то значение аргумента р₂/р₁, при котором функция М будет иметь экстремум.

В формуле (8.10) переменной является разность

—

{M = f (8.10) }

Поэтому в целях сокращения математических преобразований первую производную берем от этого выражения и приравниваем ее к нулю, в результате чего получаем:

Но ¹ 0, ибо для этого или р₂ = 0, или р₁ = ¥, чего практически не бывает. Тогда может быть равен нулю лишь второй множитель, т. е.

2 = k + 1; 2 = , или = ,

И окончательно

b_кр = (8.11)

Формула (8.11) показывает, что b_кр = р_2кр/р зависит только от природы газа или пара, вытекающего через сопло, так как для каждого рабочего тела имеется свое значение k: для двухатомных газов k = 1,4, р_кр = 0,528, р_2кр = 0,528р₁; для перегретого пара k =1,3, b_кр = 0,546, р_2кр = 0,546 р₁.

{ w (8.8) }

Подставляя в формулу (8.8) значение b_кр из уравнения (8.11), получим выражение для определения w_KP:

Тогда

w_кр = (8.12)

Из формулы следует, что критическая скорость вполне определяется начальным состоянием газа и показателем адиабаты k. В частности, для двухатомных газов w_кр = 1,08 , или w_кр = 1,08 т. е. скорость w_кр возрастает с увеличением начальной температуры и для разных газов различна. Например, для воздуха при t = 200 °С

w_кр = 1,08 = 398 м/с,

а при t = 1000 °С

w_кр =1,08 = 650 м/с.

Для перегретого пара w_кр = 1,06 . Во всех формулах р в Н/м², w в м/с, а в м³/кг.

Лекция №5.