ТЕПЛООТДАЧА ПРИ СВОБОДНОМ ДВИЖЕНИИ ЖИДКОСТИ

Допущения:1) силы инерции пренебрежимо малы по сравнению с силами тяжести и вязкости;2) конвективный перенос теплоты, а также теплопроводность вдоль движущегося слоя жидкости можно не учитывать; 3) градиент давления равен нулю;4) физические параметры жидкости (исключая плотность) постоянны; плотность является линейной функцией температуры.

Будем полагать, что температура в движущемся слое жидкости изменяется по уравнению (10.1)где J = t — t₀ и J_c = t_c — t₀ согласно условию задачи J_c = const. Уравнение (10-1) удовлетворяет граничным условиям: Коэффициент теплоотдачи определяется уравнением (10.1)Из уравнения (10-1) следует, что Подставляя значение в уравнение теплоотдачи (10-2), получаем: (10.3) Толщина движущегося слоя жидкости переменна по высоте и связана со скоростью движения в этом слое. Поле скоростей описывается уравнением движения. При принятых условиях течение происходит в основном в направлении оси Ох, поэтому используем уравнение движения только в проекциях на ось Ох. Для стационарного течения и с учетом ранее принятых допущений уравнение движения упрощается. В результате вместо уравнения (а) будем иметь:

(10.4)При линейной зависимости плотности от температуры где b = const. Отсюда

Уравнение движения можно написать след.образом:

или здесь

Интегрирование уравнения движения дает:

и (б)

Примем следующие граничные условия для скорости: w_x = 0 как при y = 0, так и при у = d. Отметим, что строго говоря, при у= d(J = 0) скорость может быть не равна нулю. Это объясняется действием сил вязкости. Движущиеся частицы могут увлекать за собой слон жидкости, находящиеся в изотермических условиях. При принятых граничных условиях из уравнения (б) следует, что и C₂ = 0

Подставив значения С₁ и С₂ в уравнение (б) и произведя некоторые преобразования, получим следующее уравнение распределения скоростей в движущемся слое жидкости: (10.5)

На рис. 10-2 приведено распределение скоростей согласно уравнению (10-5). Здесь же представлена кривая температур согласно уравнению (10-1). Максимум скорости соответствует значению (d)

Согласно уравнению (10-5) среднеинтегральная скорость равна: (10.8)

Для простоты решения среднюю температуру жидкости в слое определим приближенно как среднеинтегралъиую по сечению слоя:

(10.7)Таким образом, при принятых условиях величина средней температуры слоя не зависит от координаты x.

Расход жидкости через поперечное сечение слоя d×1 равен: (10.8)

Расход жидкости определен по плотности r_о. При этом полагаем, что жидкость плотностью r_о, вовлекаясь в движущийся слой, приобретает в среднем скорость w_х.

Подставляя и (г) значение w_х согласно уравнению (10-6), получаем:

(д)

В движение вовлекается жидкость с первоначальной температурой t₀. В движущемся слое эта жидкость нагревается до различных температур, лежащих в интервале от t₀ до t_c. Можно считать, что в среднем жидкость нагревается до температуры . На этот нагрев затрачивается теплота

(е)

Из уравнения (е) следует, что (ж)

Приравнивая правые части уравнений (д) и (ж), получаем дифференциальное уравнение, описывающее изменение d по высоте стенки: (з) Интегрируя это уравнение, получаем: (и)

Постоянную интегрирования с найдем из условия, что при х = 0 d = 0. Отсюда с = 0- Из уравнения (и) следует, что (10.9)

Согласно уравнению (10-3) . Подставляя сюда значение d, получаем:

(10.10) Приведем уравнение (10-10) к безразмерному виду, правую части уравнения умножим на х и разделим на l.

После некоторых преобразований получим:

(10.11) и Как следует из уравнения (10-11), Nu_x=f(Gi×Pr). Такой же результат дает теория подобия. Произведение чисел Gr и Рr часто называют числом Рэлея и обозначают символом Ra.В рассматриваемом случае температуры t_c и t₀ постоянны, следовательно, неизменен и температурный напор J_c = t_c — t₀.

Из уравнения (10-11) следует, что a = сx^0,25, где с¹f(х). При этом

где а_х=l — местный коэффициент теплоотдачи в точке, определяемой координатой х=1.Тогда средняя теплоотдача вертикальной пластины при t_с—const в ламинарном течении (10.12) Коэффициенты пропорциональности в формулах (10 11) и (10-12) нуждаются и некоторых уточнениях. Формулы (10-11) и (10-12) получены при ряде допу­щений(без силы инерции). С силами инерции зависит от числа Прапдтля. Результаты точных решений, выполненных Польгаузепом, Шу, Саупдерсом, Греггом и Спэрроу, приведены на графике рис. 10-3. Здесь с = Nu_x (Gr_xPr)^0,25. Наиболее существенно проявляется влияние инерционных сил при небольших значениях чисел Прандтля. Кроме того, из рис. 10-3 следует, что интенсивность теплоотдачи при постоянной температуре стенки примерно на 7% меньше, чем при постоянной плотности теплового потока на стенке. Для расчета местных коэффициентов теплоотдачи при свободном ламинарном течении вдоль вертикальных стенок можно использовать формулу (10.13)

Здесь определяющей является температура жидкости за пределами движущегося слоя (Pr_c выбирается по местной температуре стенки). Определяющий размер (продольная вдоль потока координата) отсчитывается от места начала теплообмена. На рис. 10-4 формула (10-13) сопоставлена с опытными данными.Рис 10-4 Теплоотдача при свободной конвекции у вертикальной поверхности в большом объеме жидкости Формула (10-13) получена при условии, что q_c = const. Осредняя коэффициенты теплоотдачи, получаем, что при q_c = const расчетная формула для средних коэффициентов теплоотдачи буде (10.14)Здесь определяющей температурой по-прежнему является температура жидкости за пределами движущегося слоя, определяющий размер — длина пластины, отсчитываемая от начала теплообмена.Формула (10-13) получена для теплоносителей с числами Прандтля от 0,7 до 3×10³. Ею следует пользоваться при 10³ < Gr_жхРr_ж <10⁹. Уравнение (10-13) получено при условии q_c = const. Исходя из графика рис. 10-3, для случаяt_c = const значение коэффициента пропорциональности в формуле (10-13) в первом приближении может быть взято равным примерно 0,55. При этом Теплоотдача при свободном турбулентном движении вдоль вертикальной пластины.Развитое турбулентное течение наступает при числах Gr_жхРr_ж ³ 6×10¹⁰ (рис. 10-4).Для местных коэффициентов теплоотдачи при развитом турбулентном течении предложена формула (10.15)