Зависимость процесса охлаждения (нагревания) от формы и размеров тела.

Скорость процесса распространения теплоты в телах зависит от отношения поверхности тел к их объему. Исследования процессов охлаждения тел указывают на то, что чем больше отношение поверхности тела к его объему, тем и скорость протекания процесса будет больше. Сказанное справедливо для любых значений числа Bi и может быть наглядно продемонстрировано на примере охлаждения пластины, длинного цилиндра и шара. При Bi = 0 для пластины, цилиндра и шара уравнения температурного поля запишутся соответственно
Из приведенных уравнений следует, что при одинаковом определяющем размере и прочих равных условиях наибольшая скорость изменения температуры во времени будет наблюдаться для шара. Если сравнивать отношения поверхности к объему для пластины, цилиндра и шара, то их можно представить как 1:2:3.

Рис.Скорость охлаждения в центре для различных тел с одинаковым характерным линейным размером l_о. (J₀/J’ = Ф_о (Bi, Fo) для тел различной формы при Bi®¥)
1 — безграничная пластина; 2— квадратная балка бесконечной длины; 3—-цилиндр бесконечной длины; 4 —куб; 5—цилиндр, длина равна диаметру; 6 —шар.

из рисунка => При одинаковом значении числа Bi для шара скорость охлаждения больше, чем для любого другого тела. Для цилиндрических и призматических тел скорость процесса в сильной мере зависит от их длины. Чем меньше длина, тем выше скорость. Следует помнить, что все сказанное справедливо для тел с одинаковым характерным линейным размеромl_о.

11.Приближенные методы решения.
1.Метод конечных разностей Шмидта. Этот метод основан на допущении возможности замены непрерывного процесса скачкообразным как в пространстве, так и во времени. При этом дифференциальное уравнение теплопроводности
;

заменяется уравнением в конечных разностях, которое для одномерного поля имеет вид↑:

Практика применения этого метода к расчету плоских, цилиндрических и сферических тел, а также к расчету двумерного температурного поля.

2.Метод элементарных балансов.
Рассматриваемое тело разбивается на ряд элементарных геометрических форм, в пределах которых закон изменения температуры с известной степенью точности может быть принят линейным. В качестве элементарного объема целесообразно принять параллелепипед со сторонами δх,δу,δz. Серией таких параллелепипедов могут быть описаны контуры любого тела. Расчетными точками при этом являются места пересечения плоскостей разбивки, т. е. углы параллелепипедов.
Температуры в расчетных точках снабдим индексами, характеризующими время и место. Температуру расчетной точки в данный момент времени обозначим просто t. Температуры в данный момент времени в соседних точках, находящихся на расстоянии δх, δу, δz, обозначаются соответственно через t_х+δx, t_y+δy,t_z+δz.Температура расчетной точки в последующий момент времени, т. е. через промежуток времени δt, обозначается t_t+δt.

Пусть заданы изменения параметров си lв зависимости от температуры и краевые условия. Требуется определить температуру во всех расчетных точках во все последующие моменты времени. Расчетные формулы получим, применяя законы Фурье и Ньютона — Рихмана к составлению тепловых балансов группы элементарных параллелепипедов, на которые разбито тело. При этом могут встретиться разнообразные варианты расположения расчетных точек. Они могут находиться в пределах однородной среды, лежать на границе двух и более твердых тел, могут быть также расположены на границе с жидкостью или газом. При всякой конкретной задаче имеется ограниченное и обычно не очень большое число вариантов расположения точек. Для каждого такого варианта, объединяющего одну или несколько точек, необходима своя расчетная формула.

Тo обстоятельство, что рассматриваемые параллелепипеды невелики в сравнении с размерами всей системы, позволяет использовать в дальнейших выводах следующие допущения: а) изотермические поверхности в пределах данного элемента представляют собой параллельные плоскости, равноотстоящие одна от другой; б) средний за время δt тепловой поток δQчерез какую-либо поверхность пропорционален начальному в пределах элемента времени δt значению температурного градиента; в) увеличение энтальпии пропорционально приращению температуры в средней точке его объема.

Для получения расчетной формулы составим тепловой баланс элемента со сторонами δх, δу, δz, температура в центральной точке которого является расчетной tи t_t+δ_t.Элемент расположен в центре группы из восьми таких же элементов. Количество теплоты, вошедшее в элемент за время δt через левую грань, параллельную плоскости YOZ, т. е. грань, лежащую в плоскости, выражаемой уравнением х = — δх/2, на основании закона Фурье равно:

Алгебраическая сумма количества теплоты, вошедшего за время t через все грани в элемент, равна увеличению его энтальпии. Это может быть выражено в виде равенства

Подставляя в это равенство вместо δQ₁,δQ₂,…, δQ₆,ранее найденные для них выражения (е) и решая полученное уравнение относительно интересующего нас значения температуры в следующий момент времени t_t+δt. получаем:

Расчетная формула выше может быть представлена в виде

где

практически проще всего поступать так: найти величину t_макс из условия А₁ = 0 при t = t_макс и при t = t_мин и из двух найденных значений
ввести в расчет наименьшее, так как при этом условиеА0 будет выполнено для всех температур, возможных в системе. Даже при незначительном повышении этой величины изменения температур начинают носить беспорядочный скачкообразный характер, и расчет становится неверным. Если система состоит из нескольких веществ или окружена жидкой средой, величина δt_макс должна быть найдена для всех случаев, встречающихся в системе, и из найденных значений в расчете должно быть принято наименьшее.

12.Передача теплоты через плоскую стенку.

а) Граничные условия первого рода
Рассмотрим однородную и изотропную стенку толщиной d с постоянным коэффициентом теплопроводности l. На наружных поверхностях стенки поддерживают постоянными температуры t_с1и t_с2. При заданных условиях температура будет изменяться только в направлении, перпендикулярном плоскости стенки. Если осьОхнаправить, как показано на рис. 2.1, то температура в направлении осей Оуи Ozбудет оставаться постоянной: (3)

Граничные условия в рассматриваемой задаче зададим следующим образом: (4)
выражение для температурного поля

Из этого уравнения следует, что температура в стенке изменяется не линейно, а по кривой. Характер температурной кривой определяется знаком и числовым значением коэффициента b.

Рассмотрим теплопроводность многослойной плоской стенки, состоящей из поднородных слоев. Примем, что контакт между слоями совершенный и температура на соприкасающихся поверхностях двух слоев одинакова.
При стационарном режиме тепловой поток, проходящий через любую изотермическую поверхность неоднородной стенки, один и тот же:
При заданных температурах на внешних поверхностях такой стенки, размерах слоев и соответствующих коэффициентах теплопроводности можно составить систему уравнений:

;

эквивалентный коэффициент теплопроводности l_экв зависит не только от теплофизических свойств слоев, но и от их толщины.

13.Конвективный теплообмен.

Конвективным теплообменом или теплоотдачей называется процесс переноса теплоты при движении жидкости или газа (как частный случай - между поверхностью твердого тела и жидкой или газообразной средой). При этом перенос теплоты осуществляется одновременным действием теплопроводности и конвекции.
Явление теплопроводности в жидкостях и газах, так же как и в твердых телах, вполне определяется коэффициентом теплопроводности и температурным градиентом. Иначе обстоит дело с явлением конвекции — вторым элементарным видом распространения теплоты. Здесь процесс переноса теплоты неразрывно связан с переносом самой среды.По природе возникновения различают два вида движения — свободное и вынужденное. Свободнымназывается движение, происходящее вследствие разности плотностей нагретых и холодных частиц жидкости в гравитационном поле. Возникновение и интенсивность свободного движения определяются тепловыми условиями процесса и зависят от рода жидкости, разности температур, напряженности гравитационного поля и объема пространства, в котором протекает процесс. Свободное движение называется также естественной конвекцией. Вынужденнымназывается движение, возникающее под действием посторонних возбудителей, например насоса, вентилятора и пр. В общем случае наряду с вынужденным движением одновременно может развиваться и свободное. Относительное влияние последнего тем больше, чем больше разность температур в отдельных точках жидкости и чем меньше скорость вынужденного движения.Под конвекцией понимают перенос теплоты при перемещении макрочастиц жидкости или газа в пространстве из области с одной температурой в область с другой.
Если в единицу времени через единицу контрольной поверхности нормально к ней проходит масса жидкости ,кг/м²×с), где ω— скорость, r - плотность жидкости, то вместе с ней переносится энтальпия. Дж/(м²×с): q_конв=ρωi. конвективный теплообмен описывают уравнением

При расчетах теплоотдачи используют закон Ньютона - Рихмана: dQ_c=a(t_c—t_ж)dF.

2. Уравнение движения. В уравнении (2-5а) наряду с температурой tимеются еще три переменные: wx,wyи wz. Это говорит о том, что в движущейся жидкости температурное поле зависит еще и от распределения скоростей. Последнее описывается дифференциальным уравнением движения, вывод которого основан на втором законе Ньютона: сила равна массе, умноженной на ускорение.

а) Сила тяжести приложена в центре тяжести элемента объемом dv. Ее проекция на ось хравна произведению проекции ускорения свободного падения g_xна массу элемента rdv, а именно: (в)
б) Равнодействующая сил давления (г)

в) При движении реальной жидкости всегда возникает сила трения

(д)

Суммируя теперь выражения (в), (г) и (д), получаем проекцию на ось хравнодействующей всех сил, приложенных к объему dv:

Согласно второму закону механики эта равнодействующая равна произведению массы элемента rdvна его ускорение Dw_x/dt:

Приравнивая друг другу уравнения (е) и (ж) и производя сокращение на dv, окончательно имеем:

Все компоненты этого уравнения имеют размерность силы, отнесенной к единице объема (Н/м³).Таким же образом могут быть получены уравнения и для проекций равнодействующих сил на оси уи z, а именно:

Система уравнений выше и есть дифференциальное уравнение движения несжимаемой вязкой жидкости — уравнение Навье—Стокса. Это уравнение справедливо как для ламинарного, так и для турбулентного движения.

3. Уравнение сплошности. Так как в уравнении движения появилась новая неизвестная — давление P, то число неизвестных в уравнениях (2-5) и (2-7) больше числа уравнений, т. е. система оказалась незамкнутой. Чтобы получить замкнутую систему, необходимо к имеющимся уравнениям присоединить еще одно — уравнение сплошности, которое выводится на основе закона сохранения массы.

В направлении оси хчерез грань ABCDвтекает масса жидкости
Через противоположную грань EFGHвытекает масса
Вычитая второе равенство из первого, получаем излишек массы жидкости, вытекающей из объема в направлении оси х, а именно:
Аналогичным образом для направлений по осям уи z

4. Краевые условия. Система дифференциальных уравнений для процессов конвективного теплообмена охватывает бесчисленное множество процессов теплоотдачи, которые описываются этими уравнениями, но вместе с тем каждый из них отличается от других некоторыми частностями. Чтобы ограничить задачу, из бесчисленного множества выделить рассматриваемый процесс и определить его однозначно, т. е. дать полное математическое описание, к системе дифференциальных уравнений необходимо присоединить математическое описание всех частных особенностей, которые называются условиями однозначности или краевыми условиями.

Условия однозначности состоят из: геометрических условий, характеризующих форму и размеры системы, в которой протекает процесс; физических условий, характеризующих физические свойства среды и тела; граничных условий, характеризующих особенности протекания процесса на границах тела;временных условий, характеризующих особенности протекания процесса во времени.

Когда условия однозначности для какого-либо конкретного случая заданы, то они вместе с системой дифференциальных уравнений составляют математическое описание данного процесса. Тем самым после решения системы уравнений можно получить полное описание процесса во всех деталях: поля температур, скоростей, давлений и т. д.
При известном поле температур определение коэффициента теплоотдачи основывается на следующих положениях.

Поток теплоты, передаваемый от жидкости к стенке, проходит через слой жидкости, прилегающей к поверхности, путем теплопроводности и может быть определен по закону Фурье:
С другой стороны для этого же элемента Ньютона—Рихмана записывается в видеdQ_c=a(t_c—t_ж)dF. Приравнивая правые части этих уравнений, получаем:

Это уравнение, позволяющее по известному полю температур в жидкости определить коэффициент теплоотдачи, называется уравнением теплоотдачи.

Условия однозначности могут быть заданы в виде числовых значений, в виде функциональных зависимостей или в табличной форме

8.Передача теплоты через шаровую стенку.

а) Граничные условия первого рода
Пусть имеется полый шар с радиусами r₁и r₂, постоянным коэффициентом теплопроводности lи с заданными равномерно распределенными температурами поверхностей t_c1и t_c2. Так как в рассматриваемом случае температура измеряется только в направлении радиуса шара, то дифференциальное уравнение теплопроводности в сферических координатах принимает вид: (1)
Граничные условия запишутся:
(2)
После первого интегрирования уравнения (1) получаем: Второе интегрирование дает: (3)
Постоянные интегрирования в уравнении (3) определяются из граничных условий (2). При этом получим:

С₁= - (t_c1-t_c2)/(1/r₁ – 1/r₂);

С₂=t_c1–((t_c1-t_c2)/(1/r₁ – 1/r₂))*1/r₁
Подставляя значения С₁и С₂в уравнение (3), получаем выражения для температурного поля в шаровой стенке:
(4)
Для нахождения количества теплоты, проходящей через шаровую поверхность величиной Fв единицу времени, можно воспользоваться законом Фурье:
здесь Qизмеряется в ваттах.
Если в это выражение подставить значение градиента температуры dt/dr, то получим:

Эти уравнения являются расчетными формулами теплопроводности шаровой стенки. Из уравнения (2.64) следует, что при постоянномlтемпература в шаровой стенке меняется по закону гиперболы.