Тогда с учетом обозначений (2.13, 2.14) выражение (2.12) принимает вид

Dy = k Dx, (2.15)

где k = y¢(x₀) – передаточный коэффициент элемента, характеризующий его передаточные свойства в статическом режиме.

2.4. Динамические характеристики элементов АСУ

Передаточные свойства элементов АСУ в динамическом режиме описывают с помощью динамических характеристик.

Различают следующие формы динамических характеристик:

· обыкновенное дифференциальное уравнение;

· временные характеристики;

· передаточная функция;

· частотные характеристики.

2.4.1. Обыкновенное дифференциальное уравнение

Обыкновенное дифференциальное уравнение является наиболее общей и полной формой описания передаточных свойств элементов АСУ.

Для элемента имеющего один входной сигнал x(t) и один выходной y(t) обыкновенное дифференциальное уравнение в общем случае имеет вид

Ф[ y(t), y¢(t),… y⁽ⁿ⁾(t); x(t),…x^(m)(t), t ] = 0, (2.16)

где t – независимая переменная (обычно время).

Для реальных систем m £ n.

Это уравнение динамики (движения) элемента. Движения в широком смысле слова, когда под движением понимается любое изменение сигналов.

Дифференциальное уравнение (2.16) может быть:

· линейное;

· нелинейное.

Линейное дифференциальное уравнение – уравнение, в котором функция Ф линейна по отношению ко всем ее аргументам, т. е. к y(t), y¢(t),… y⁽ⁿ⁾(t); x(t),…x^(m)(t), t.

Так, например, передаточные свойства четырехполюсника с линейными элементами (рис. 2.9) описываются линейным дифференциальным уравнением вида

0.(2.17)

Рис. 2.9. Схема четырехполюсника с линейными элементами

Нелинейное дифференциальное уравнение – уравнение, в котором функция Ф содержит произведения, частные, степени и т. д. переменных y(t), x(t) и их производных.

Так, например, передаточные свойства четырехполюсника с нелинейным резистором (рис. 2.10) описываются нелинейным дифференциальным уравнением вида

0. (2.18)

Рис. 2.10. Схема четырехполюсника с нелинейным резистором

В функцию Ф (дифференциальное уравнение) входят также величины, называемые параметрами. Они связывают между собой аргументы (y(t), y¢(t),… y⁽ⁿ⁾(t); x(t),…x^(m)(t), t) и характеризуют свойства элемента с количественной стороны. Например, параметрами являются масса тела, активное сопротивление, индуктивность и емкость проводника и т. д.

Большинство реальных элементов описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, что значительно усложняет последующий анализ АСУ. Поэтому стремятся перейти от нелинейных к линейным уравнениям вида

(2.19)

Для всех реальных элементов выполняется условие m £ n .

Коэффициенты a₀, a₁…a_n и b₀, b₁…b_m в уравнении (2.19) называются параметрами. Иногда параметры изменяются во времени, тогда элемент называют нестационарным или с переменными параметрами. Таковым, например, является четырехполюсник, схема которого приведена на рис. 2.10.

Однако в дальнейших рассуждениях будем рассматривать только элементы с постоянными параметрами.

Если при составлении линейного дифференциального уравнения осуществлялась линеаризация статической характеристики элемента, то оно справедливо лишь для окрестности точки линеаризации и может записываться в отклонениях переменных (2.13…2.16). Однако, с целью упрощения записи, отклонения переменных в линеаризованном уравнении будем обозначать теми же символами, что и в исходном нелинейном уравнении, но без символа D .

Важнейшим практическим достоинством линейного уравнения (2.19) является возможность применения принципа наложения, согласно которому изменение выходной величины y(t), возникающее при действии на элемент нескольких входных сигналов x_i(t), равно сумме изменений выходных величин y_i(t), вызываемых каждым сигналом x_i(t) в отдельности (рис.2.11).

Рис. 2.11. Иллюстрация принципа наложения

2.4.2. Временные характеристики

Дифференциальное уравнение не дает наглядного представления о динамических свойствах элемента, но такое представление дает функция y(t), т. е. решение этого уравнения.

Однако одно и то же дифференциальное уравнение может иметь множество решений, зависящих от начальных условий и характера входного воздействия x(t), что неудобно при сопоставлении динамических свойств различных элементов. Поэтому было решено характеризовать эти свойства элемента только одним решением дифференциального уравнения, полученным при нулевых начальных условиях и одном из типовых воздействий: единичном ступенчатом, дельта-функции, гармоническом, линейном. Наиболее наглядное представление о динамических свойствах элемента дает его переходная функция h(t).

Переходная функция h(t) элемента – изменение во времени выходной величины y(t) элемента при единичном ступенчатом воздействии и нулевых начальных условиях.

Переходная функция может быть задана:

· в виде графика;

· в аналитическом виде.

Переходная функция, как и любое решение неоднородного (с правой частью) дифференциального уравнения (2.19), имеет две составляющие:

· вынужденную h_в(t) (равна установившемуся значению выходной величины);

· свободную h_с(t) (решение однородного уравнения).

Вынужденную составляющую можно получить решая уравнение (2.19) при нулевых производных и x(t) = 1

(2.20)

Свободную составляющую получаем решая уравнение (2.19) при нулевой правой части

h_с(t) = (2.21)

где p_k – k-й корень характеристического уравнения (в общем случае комплексное число); С_k - k-я постоянная интегрирования (зависит от начальных условий).

Характеристическое уравнение – алгебраическое уравнение, степень и коэффициенты которого совпадают с порядком и коэффициентами левой части линейного дифференциального уравнения вида (2.19)

a₀ pⁿ + a₁ p^{n –1} +…+ a_n = 0. (2.22)

2.4.3. Передаточная функция

Наиболее распространенным методом описания и анализа АСУ является операционный метод (метод операционного исчисления), в основе которого лежит прямое интегральное преобразование Лапласа для непрерывных функций

F(p) = Z { f(t) } = f(t) e^-pt dt . (2.23)

Это преобразование устанавливает соответствие между функцией действительной переменной t и функцией комплексной переменной p = a + jb. Функцию f(t), входящую в интеграл Лапласа (2.23), называют оригиналом, а результат интегрирования – функцию F(p) – изображениемфункции f(t) по Лапласу.

Преобразование выполнимо лишь для функций, которые равны нулю при t< 0. Формально это условие в ТАУ обеспечивается умножением функции f(t) на единичную ступенчатую функцию 1(t) или выбором начала отсчета времени с момента, до которого f(t) = 0.

Наиболее важными свойствами преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях являются:

Z { f¢(t) } = pF(p); (2.24)

Z { f (t)dt } = F(p) / p. (2.25)

Операционный метод в ТАУ получил широкое распространение, так как с его помощью определяют так называемую передаточную функцию, которая является самой компактной формой описания динамических свойств элементов и систем.

Применяя прямое преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению (2.19) с использованием свойства (2.24) получим алгебраическое уравнение

D(p)Y(p) = K(p)X(p), (2.26)

где

D(p) = a₀ pⁿ + a₁ p^n-1 +…+ a_n - собственный оператор;(2.27)

K(p) = b₀ p^m + b₁ p^m-1 +…+ b_m - входной оператор.(2.28)

Введем понятие передаточной функции.

Передаточная функция – отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях:

(2.29)

Тогда с учетом уравнения (2.26) и обозначений (2.27, 2.28) выражение для передаточной функции принимает вид:

(2.30)

Значение переменной p, при которой передаточная функция W(p) обращается в бесконечность, называется полюсом передаточной функции. Очевидно, что полюсами являются корни собственного оператора D(p).

Значение переменной p, при которой передаточная функция W(p) обращается в нуль, называется нулем передаточной функции. Очевидно, что нулями являются корни входного оператора K(p).

Если коэффициент a₀ ¹ 0, то передаточная функция не имеет нулевого полюса ( p = 0 ), характеризуемый ей элемент называют астатическим и передаточная функция этого элемента при p = 0 ( t = ¥ ) равна передаточному коэффициенту

(2.31)

2.4.4. Частотные характеристики

Частотные характеристики описывают передаточные свойства элементов и АСУ в режиме установившихся гармонических колебаний, вызванных внешним гармоническим воздействием. Они находят применение в ТАУ, так как реальные возмущения, а следовательно и реакции на них элемента или АСУ могут быть представлены как сумма гармонических сигналов.

Рассмотрим сущность и разновидности частотных характеристик. Пусть на вход линейного элемента (рис. 2.12, а) в момент времени t = 0 подано гармоническое воздействие с частотой w

x(t) = x_m sinw t. (2.32)

Рис. 2.12. Схема и кривые, поясняющие сущность частотных характеристик

По завершении переходного процесса установится режим вынужденных колебаний и выходная величина y(t) будет изменяться по тому же закону, что и входная x(t), но в общем случае с другой амплитудой y_m и с фазовым сдвигом j по оси времени относительно входного сигнала (рис. 2.12, б):

y(t) = y_m sin(w t + j ) . (2.33)

Проведя аналогичный опыт, но при другой частоте w, можно увидеть, что амплитуда y_m и фазовый сдвиг j изменились, т. е. они зависят от частоты. Можно убедиться также, что для другого элемента зависимости параметров y_m и j от частоты w иные. Поэтому такие зависимости могут служить характеристиками динамических свойств элементов.

В ТАУ наиболее часто используют следующие частотные характеристики:

· амплитудная частотная характеристика (АЧХ);

· фазовая частотная характеристика (ФЧХ);

· амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ).

Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) – зависимость отношения амплитуд выходного и входного сигналов от частоты

(2.34)

АЧХпоказывает, как элемент пропускает сигналы различной частоты. Пример АЧХ приведен на рис. 2.13, а.

Рис. 2.13. Частотные характеристики:

а – амплитудная; б – фазовая; в – амплитудно-фазовая; г – логарифмическая

Фазовая частотная характеристика ФЧХ – зависимость фазового сдвига между входным и выходным сигналами от частоты.

ФЧХ показывает, какое отставание или опережение выходного сигнала по фазе создает элемент при различных частотах. Пример ФЧХ приведен на рис. 2.13, б.

Амплитудную и фазовую характеристики можно объединить в одну общую – амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ). АФЧХ представляет собой функцию комплексного переменного jw :

W(jw) = A(w ) e ^{jj (w)} (показательная форма), (2.35)

где A(w ) – модуль функции; j (w) – аргумент функции.

Каждому фиксированному значению частоты w_i соответствует комплексное число W( jw_i ), которое на комплексной плоскости можно изобразить вектором, имеющим длину A(w_i ) и угол поворота j (w_i ) (рис. 2.13, в). Отрицательные значения j (w), соответствующие отставанию выходного сигнала от входного, принято отсчитывать по часовой стрелке от положительного направления действительной оси.

При изменении частоты от нуля до бесконечности вектор W(jw) поворачивается вокруг начала координат, при этом одновременно изменяется длина вектора. Кривая, которую при этом опишет конец вектора, и есть АФЧХ. Каждой точке характеристики соответствует определенное значение частоты.

Проекции вектора W(jw) на действительную и мнимую оси называют соответственно действительной и мнимой частотными характеристиками и обозначают P(w ), Q(w ). Это позволяет записать АФЧХ в алгебраической форме:

W(jw) = P(w ) +j Q(w ) (2.36)

АФЧХ, как и любую комплексную величину, можно также представить в тригонометрической форме

W(jw) = A(w )cosj (w) + j A(w )sinj (w). (2.37)

Аналитическое выражение для АФЧХ конкретного элемента можно получить из его передаточной функции путем подстановки p = jw :

W(jw) = W(p)½_{p = jw} . (2.38)

Связь между различными частотными характеристиками следующая:

A(w ) = ç W(jw) ç = (2.39)

j (w) = arg W(jw) = (2.40)

При практических расчетах АСУ (без применения электронных вычислительных машин) удобно использовать частотные характеристики, построенные в логарифмической системе координат. Такие характеристики называют логарифмическими. Они имеют меньшую кривизну и поэтому могут быть приближенно заменены ломаными линиями, составленными из нескольких прямолинейных отрезков. Причем, эти отрезки в большинстве случаев удается построить без громоздких вычислений при помощи некоторых простых правил. Кроме того, в логарифмической системе координат легко находить характеристики различных соединений элементов, так как умножению и делению обычных характеристик соответствует сложение и вычитание ординат логарифмических характеристик.

За единицу длины по оси частот логарифмических характеристик принимают декаду.

Декада – интервал частот, заключенный между произвольным значением частоты w_i и его десятикратным значением 10w_i .

Отрезок логарифмической оси частот, соответствующий одной декаде, равен 1.

Обычно в расчетах используют логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ)

Белл – единица измерения мощностей двух сигналов.

Если мощность одного сигнала больше (меньше) мощности другого сигнала в 10 раз, то эти мощности отличаются на 1 Б, (lg 10 = 1). Так как мощность гармонического сигнала пропорциональна квадрату его амплитуды, то при применении этой единицы для измерения отношения амплитуд перед логарифмом появляется множитель 2. Например, если на некоторой частоте A(w ) = 100, то это означает, что мощности входного и выходного сигналов отличаются в 100² раз, т.е. на 2lg 100 = 4 Б или на 40 дБ, соответственно и L(w) = 20 lg A(w ) = 40 дБ.

При построении фазовой частотной характеристики логарифмический масштаб применяют только для оси абсцисс (оси частоты).

На рис. 2.13, г показаны ЛАЧХ L(w) (толстая линия) и соответствующая ей приближенная (асимптотическая) характеристика L_а(w) в виде прямолинейных отрезков (тонкая линия). Частоты, соответствующие точкам стыковки отрезков, называют сопрягающими и обозначают w_с.

По виду частотных характеристик все элементы делятся на две группы:

· минимально-фазовые;

· неминимально-фазовые.

Минимально-фазовый элемент – элемент, у которого все полюсы и нули передаточной функции W(p) имеют отрицательные действительные части.

Минимально-фазовые элементы дают минимальный фазовый сдвиг j (w) по сравнению с любыми другими элементами, имеющими такую же амплитудную характеристику A(w ) , но у которой действительная часть хотя бы одного полюса или нуля положительна.

Минимально-фазовые элементы обладают важным для практических расчетов свойством: их частотная передаточная функция полностью определяется одной из трех составляющих - A(w ), P(w ) и Q(w ). Это существенно упрощает задачи анализа и синтеза минимально-фазовых систем.

2.4.5. Пример определения статических и динамических характеристик элемента АСУ

Для элемента АСУ (четырехполюсника), схема и параметры которого приведены на рис. 2.14, найдем следующие статические и динамические характеристики:

· дифференциальное уравнение;

· переходную функцию;

· передаточную функцию;

· передаточный коэффициент;

·
частотные (амплитудно-фазовую, амплитудную, фазовую, логарифмическую амплитудную)характеристики

Рис. 2.14. Схема и параметры элемента

Составление дифференциального уравнения элемента

В соответствии с законами линейных электрических цепей записываем следующие уравнения:

r i+ u_c = e ; (2.41)

(2.42)

Подставляя значение тока i из выражения (2.42) в уравнение (2.41) получаем дифференциальное уравнение

(2.43)

Подставляя параметры r и c четырехполюсника (рис. 2.15) в уравнение (2.43) получаем искомое дифференциальное уравнение элемента