Кинематика материальной точки

Физика – наука об окружающем нас мире. Физика – наука опытная. Ее цель и задачи состоят в том, чтобы понять всю природу, как разные проявления одной совокупности физических явлений и происходящих в ней процессов. Открыть законы, стоящие за этими процессами и объединить отдельные явления природы, предварительно разъединив их для подробного изучения.

Физика, как наука, возникла благодаря, прежде всего, трудам греческого философа Аристотеля (384 – 322 г.г. до н.э.). Аристотель собрал и систематизировал огромный естественнонаучный материал предшественников (как говорят, он владел всеми знаниями той эпохи) и сам осуществил ряд глубоких наблюдений. Несмотря на то, что в его взглядах на строение окружающего нас мира было много заблуждений, они просуществовали около 16 веков, т.к. во многом совпадали с догматами церкви. Следующий шаг в развитии физики и, прежде всего механики, сделали итальянский ученый Галилео Галилей (1564 – 1642 г.г.) и англичанин Исаак Ньютон (1643 – 1727 г.г.). Именно они заложили основы так называемой классической механики, которую мы будем изучать в течение всего первого семестра.

1. Движение в пространстве. Способы задания положения тел в пространстве (векторный способ, координатный способ, «естественный» способ).

Механика – раздел физики, в котором изучается механическое движение, т.е. изменение положения тел в пространстве относительно других с течением времени. Механика, в свою очередь, чисто формально, разделяется на кинематику и динамику. В кинематике изучается механическое движение без выяснения причины того или иного характера движения (состояние покоя, равномерного прямолинейного движения или движение с ускорением).

Как ни странно, механика не может точно описать ни один реальный физический процесс, происходящий в окружающем нас мире. Дело в том, в ходе каждого реального процесса происходит множество тесно связанных друг с другом явлений, которые не поддаются математическому описанию (составлению формул). Выход состоит в том, чтобы пользоваться моделями, поддающимися математическому описанию. От модели совсем не требуют внешнего сходства с описываемым объектом, достаточно, чтобы совпадали их свойства. Такой моделью в механике является материальная точка.

Материальная точка это тело, размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи. Например, в одних задачах Землю можно считать материальной точкой, а в других – нельзя.

Основными физическими понятиями раздела «Кинематика материальной точки» являются: механическое движение, траектория, система отсчета, путь и перемещение, средняя и мгновенная скорость, равномерное прямолинейное движение, ускорение.

Механическое движение – изменение положения тел в пространстве относительно других тел. Рассмотрим для начала способы задания положения тел в пространстве (идет речь о материальных точках).

Обратимся к рис.1(а,б).

а) б)

Рис.1

На рис.1 (а) показаны декартовы координаты х, у точки А на плоскости. Здесь же приведен радиус-вектор этой точки А. Видно, что координаты радиус-вектора точки А совпадают с ее декартовыми координатами. На рис. 1 (б) приведены проекции на оси координат произвольного вектора (проведенного не из начала координат).

Любой вектор удобно представлять с помощью единичного вектора некоторого произвольного направления. На рис.2 представлено некоторое произвольное направление и указан единичный вектор этого направления .

Рис.2

Тогда любой вектор этого направления можем записать в следующем виде:

.

Радиус – вектор удобно разлагать по осям координат с помощью единичных векторов- ортов. Рассмотрим рис.3.

Рис.3

Здесь - единичные векторы (орты) декартовой системы координат в пространстве. Тогда разложение радиус-вектора по ортам выглядит следующим образом:

.

Рассмотрим теперь способы задания положения точки в пространстве.

1. Векторный способ.

В этом способе следует задать начало отсчета – точку О. Тогда положение некоторой точки А относительно этого начала отсчета можно задать с помощью радиус-вектора, как показано на рис.4. Таким образом, задается зависимость .

Рис.4

Геометрическое место точек концов радиус-вектора называется траекторией. Введем вектор перемещения, как . Назовем средней скоростью движения величину:

.

Видно, что направление средней скорости совпадает с направлением вектора перемещения.

Если уменьшать интервал времени , то в пределе получим мгновенную скорость следующим образом:

.

Мгновенная скорость представляет собой производную по времени от радиус-вектора.

Замечание.

Отметим, что в общем случае . Например, в случае движения точки по окружности с постоянной по модулю скоростью ясно, что, и, следовательно, d 0. С другой стороны, , т.к. вектор все время изменяет свое направление.

При изменении скорости возникает ускорение, которое можно определить следующим образом: , или с помощью разложения по ортам декартовой системы координат:

.

Таким образом, зная зависимость , можно вычислить скорость и ускорение тела в любой момент времени.

Существует и обратная задача – зная ускорение в виде зависимости , найти скорость и перемещение тела. Для решения этой задачи воспользуемся интегральным исчислением. По определению и правую часть этого выражения можно рассматривать, как производную скорости по времени, с другой стороны, ее можно рассматривать как отношение двух бесконечно малых величин – дифференциала (бесконечно малого приращения) скорости dV и дифференциала (бесконечно малого приращения) времени dt. Тогда следует очевидное:

.

Отсюда можно записать при V₀ =0:

.

Найдем теперь перемещение тела, используя определение мгновенной скорости:

.

Тогда можем записать , или окончательно .

Поскольку для модуля мгновенной скорости можем записать , где S – путь, пройденный телом вдоль траектории, то величину этого пути можно найти с помощью следующего выражения:

.

2. Координатный способ.

Задавим начало отсчета точку О, и свяжем с ней декартову систему координат в пространстве (рис. 5).

Рис. 5

Тогда, зная зависимости координат частицы от времени, можно рассчитать ее скорость и ускорение в любой другой момент времени следующим образом:

и

и .

Также это дает возможность рассчитать направление векторов скорости и ускорения по формулам:

, , .

3. «Естественный» способ.

Это способ задания положения точки в пространстве с помощью параметров траектории. Рассмотрим рис.6.

Рис. 6

Точка О задает начало отсчета для движения вдоль траектории точки А. Измеряя длину траектории l от начала О до положения точки в данный момент времени, можно задавать положение точки в любой момент времени.

Введем единичный вектор касательной к траектории в данной точке . При движении вдоль траектории произвольной формы меняется направление этого вектора , следовательно, он изменяется во времени.

Поскольку, по определению, мгновенная скорость является производной перемещения по времени, а вектор перемещения совпадает с хордой, соединяющей два последовательных положения тела А и В, то направление вектора скорости в данной точке совпадает с предельным положение хорды, т.е. с касательной (см. рис. 7).

Рис. 7

Можем теперь написать . Здесь V- модуль вектора скорости. Более точной является запись .

Найдем мгновенное ускорение точки по формуле:

.

Чисто формально ( с точки зрения математики) ускорение разделилось на две составляющие его части. Попытаемся найти физический смысл каждой составляющей. Первое слагаемое назовем тангенциальным, поскольку его направление совпадает с направлением касательной к траектории движения точки. Выясним более подробно смысл величины , являющейся производной единичного вектора касательной по времени.

Производная единичного вектора по времени.

По определению производной . С другой стороны, , вектор

представляет собой направление вектора . Теоретически доказывается, вектор

направлен перпендикулярно касательной к траектории в данной точке, а (угол поворота вектора ). Следовательно, можем написать:

.

По определению при вращательном движении по окружности угловая скорость , следовательно:

.

Поскольку существует связь модуля угловой и линейной скорости ( ), то можем записать:

.

Теперь для полного ускорения можем записать следующую формулу:

.

Здесь - тангенциальное ускорение, направленное по касательной к траектории в данной точке. Оно определяет изменение модуля скорости.

Другая составляющая полного ускорения , где - единичный вектор нормали к касательной в данной точке траектории (см. рис. 8).

Рис. 8

Полное ускорение теперь записывается в виде:

= + .