Основные положения метода источников теплоты

1. Принцип конструирования решений: источник или сток любой формы, движущийся или неподвижный, действующий временно или непрерывно, может быть представлен как система точечных мгновенных источников теплоты.

2. Принцип отражения источников: процесс распространения теплоты в теле ограниченных размеров может быть представлен как процесс распространения теплоты в неограниченном теле, если фактически действующие источники дополнить некоторой системой фиктивных

Принцип конструирования решений применяют для описания особенностей источников теплоты, действующих в неограниченном теле, описание же особенностей формы нагреваемых тел и граничных условий на их поверхностях выполняют на основе принципа отражения источников.

В соответствии с принципом конструирования решений одномерный источник в виде линии представляют как бесконечное множество точечных источников, поставленных рядом и действующих одновременно. Двумерный источник представляют как совокупность бесконечного множества точечных, занимающих часть поверхности, очерченную контуром источника. Аналогично можно представить источником любой формы как ту или иную конструкцию, состоящую из точечных источников теплоты.

Если источник действует в течение времени t, то его можно представить в виде системы мгновенных точечных источников, вспыхивающих и гаснущих с весьма большой частотой, когда период времени между вспышками стремится к 0. В этом случае импульсы следуют друг за другом с бесконечно малым промежутком времени и в пределе образуют непрерывно функционирующий источник. Движение источника имитируют также рядом последовательных вспышек и гашений мгновенных импульсов, последовательно возникающих в различных точках траектории перемещения источника.

Покажем применение принципа отражения при описании процесса распространения теплоты в полупространстве с адиабатической поверхностью, в котором действует источник J_o (рис. 4.1 а). Тепловой поток, движущийся от источника в каком-либо направлении 1 в сторону граничной поверхности, достигнув последней, в силу условия не теплопроводности границы должен повернуть и далее двигаться в направлении 2. Если такой же источник действует в неограниченном теле; (рис. 4.1 б), то тепловой поток пересечет плоскость АА, находящуюся внутри неограниченного тела, но не являющуюся граничной и адиабатической, и будет продолжать двигаться в направлении 1.

Теперь поместим в неограниченном теле симметрично источнику J₀ источник J₁. Встречный тепловой поток, идущий в направлении 1^/, складываясь с тепловым потоком 1, создает равнодействующую, имеющую направление 2, т.е. то же направление, что и в полупространстве с адиабатической граничной поверхностью. Следовательно, процесс распространения теплоты в полупространстве можно представить как часть процесса в неограниченном теле, но с дополнительным источником J₁. Поэтому температура Θ_п(J₀) в любой точке М (x, у, z) полупространства равна температуре аналогичной точки неограниченного тела Θ_н(J₀) + Θ_н(J₁), где Θ_н(J₀) и Θ_н(J₁) температуры, возникающие в неограниченном теле от источников J₀ и J₁ соответственно.

Θ_п(J₀) = Θ_н(J₀) + Θ_н(J₁), (4.1)

Если y_и=0, то

Θ_п(J₀) = 2Θ_н(J₀). (4.2)

Следовательно, источник, расположенный на адиабатической поверхности полупространства, вызывает в последнем температуру в 2 раза большую, чем такой же источник в неограниченном теле.

Рассмотрим еще один пример: бесконечный клин с углом β=90° (рис. 4.2) при граничных условиях второго рода q_s= 0. Чтобы перейти к неограниченному телу, нужно: вначале дополнить мысленно клин 0 отраженным клином 1 с фиктивным источником J₁ и получить полупространство: затем дополнить полупространство с источниками J₀ и J₁ полупространством II с фиктивными источниками J₂ и J₃ расположенными симметрично источникам J₀ и J₁ относительно плоскости АА.

Температура в точке М основного клина

. (4.3)

Если y_и=0, то

Θ_к(J₀) = 4Θ_н(J₀). (4.4)

Итак, для того чтобы учесть ограниченность твердых тел, надо выполнить отражение источников и стоков теплоты, мысленно прикладывая к основному (реальному) телу ряд подобных ему тел с фиктивными источниками или стоками теплоты, при чем каждое из последующих тел должно являться зеркальным отражением предыдущего тела относительно плоскости их соприкосновения.