Начальные и граничные условия

Начальные условия отвечают на вопрос о том, каково было температурное поле в момент времени, принятый за начало отсчета. Они описываются выражением Θ|_{τ =0} = f_o(x,y,z). Очень часто температура компонентов технологических подсистем в начальный момент времени может быть принята равной температуре окружающей среды Θ_o, т. е. f_o(x,y,z) = Θ_o. В этом случае удобно, как отмечалось выше, вести расчет в так называемых избыточных температурах, условно считая, что f_o(x,y,z) = 0, а затем по окончании расчета к результату прибавляя Θ_o.

Граничными называются условия взаимодействия тел с окружающей средой или другими телами. Различают несколько разновидностей граничных условий. При граничных условиях первого рода (ГУ1) предполагают, что известен закон распределения температур на граничных поверхностях тела:

. (3.1)

Частным случаем ГУ1 является условие изотермичности поверхностей тела, когда Θ_S = const.

Граничные условия второго рода (ГУ2) предусматривают, что известен закон распределения плотности тепловых потоков, следующих через граничные поверхности:

. (3.2)

Частным случаем ГУ2 является условие адиабатичности поверхностей тела, когда q_S = 0, что означает, что тело не обменивается теплотой с окружающей средой. Выполняя тепловые расчеты, относящиеся к технологическим системам, во многих случаях с достаточной для практики точностью можно пренебречь теплообменом той или иной поверхности с окружающей средой, т. е. принять q_S = 0, что упрощает расчеты.

Граничные условия третьего рода (ГУ3) используют в том случае, когда теплообменом поверхности с окружающей средой пренебречь нельзя. в этом случае должны быть заданы температура окружающей среды Θ_o, с которой соприкасается тело, и коэффициент теплоотдачи α (Вт/м^2оС), характеризующий теплообмен между средой и поверхностью.

Согласно закону Ньютона – Рихмана плотность теплового потока пропорциональна разности температур поверхности Θ_S и окружающей ее среды Θ_o:

. (3.3)

Выражение (2.9) представляет собой математическое описание ГУ3.

Граничные условия четвертого рода (ГУ4) возникают тогда, когда рассматриваемое твердое тело находится в беззазорном контакте с другим твердым телом и между ними происходит теплообмен. Этот вариант граничных условий весьма часто встречается в теплофизике технологических процессов. Например, при обработке давлением детали штампа практически беззазорно соприкасаются с обрабатываемой заготовкой; при резании металла поверхности инструмента на определенных участках соприкасаются со стружкой и заготовкой. При граничных условиях четвертого рода, когда контакт между телами идеален, температура в любой точке поверхности соприкосновения как со стороны одного, так и со стороны другого тела одна и та же, т. е.

Θ_S1 = Θ_S2 (3.4)

С целью упрощения расчетов часто вместо равенства температур в каждой точке контакта в качестве ГУ4 принимают равенство средних температур на поверхности контакта:

Θ_срS1 = Θ_срS2 (3.5)

Граничные условия четвертого рода, используют при решении балансовых задач, т. е. при анализе распределения теплоты между телами, находящимися в контакте, Распределив между соприкасающимися телами теплоту, образующуюся на контактной поверхности, и рассчитав плотность теплового потока в каждом из тел, далее пользуются граничными условиями второго рода.