Общая теории линий влияния

При расчете мостов, кранов и других инженерных сооружений часто приходится иметь дело с подвижной нагрузкой различного вида. Обычно подвижная нагрузка состоит из системы параллельных друг другу (чаще вертикальных) грузов, между которыми сохраняется неизменное положение. Примерами такой нагрузки являются поезд, перемещающийся по железнодорожному мосту, кран, движущийся по подкрановой балке, и др.

Усилия в том или ином элементе сооружения (а также его деформации) зависят от положения подвижной нагрузки. Для определения расчетных величин усилий необходимо из всех возможных положений нагрузки выбрать такое, при котором рассчитываемый элемент будет находиться в наиболее неблагоприятных условиях. Такое положение нагрузки называется невыгоднейшим, или опасным.

Указанные выше задачи позволяют решать линии влияния. Линия влияния это график, выражающий изменение той или иной величины (опорной реакции, внутреннего усилия, перемещения в заданном сечении и т. п.) от положения движущегося по сооружению единичного груза постоянного направления.

На рис. 3. 1 для примера показана линия влияния прогиба в сечении «с» при перемещении груза Р = 1 по сооружению.

Линию влияния необходимо отличать от эпюры. Это противоположные друг другу понятия. Действительно, ординаты эпюры характеризуют распределение изучаемого фактора (например изгибающего момента) по различным сечениям балки при неподвижной нагрузке; ординаты линии влияния, наоборот, характеризуют изменение фактора (например того же момента), возникающего в одном определенном сечении при перемещающейся по длине балки силы Р = 1.

Зная линию влияния какой-либо искомой величины нетрудно определить ее значение при действии системы сосредоточенных грузов, распределенной нагрузки или сосредоточенного момента. Так:

а) влияние системы сосредоточенных грузов (рис. 3. 2). Пусть имеем систему сосредоточенных грузов Р₁, Р₂,…. Р_n. Требуется определить влияние этой нагрузки на величину Z, для которой известна линия влияния. Влияние каждой из сил выражается произведением P_i∙y_i. Пользуясь принципом независимости действия сил можем записать:

Z = P₁∙y₁ + P₂∙y₂ +……+ P_n∙y_n =

б) влияние сосредоточенного момента M (рис. 3. 3). Любой момент можно заменить парой сил, расположенных на плече h. Тогда его влияние можно оценить по следующей формуле

Z = M(y_лев – y_пр)/ h., или Z = M∙tgφ,

где φ – угол наклона касательной к линии влияния Z в точке приложения М.

в) влияние распределенной нагрузки (рис. 3. 3). Элементарная сила q∙dx будет вызывать элементарное усилие dZ = q∙dx∙y. Тогда полное усилие Z определится как

В случае равномерной нагрузки при q = const

Здесь ω – площадь линии влияния под распределенной нагрузкой.

3. 2 Построение линий влияния в простой балке

Построение линий влияния опорных реакций.

Для построения линии влияния какого-либо параметра необходимо получить формулу (выражение) этого параметра.

Запишем выражение для реакции R_a

SM_B = 0. R_Al – P(l – x) = 0.

или

л. в. . (3.1)

при х = 0 R_a = 1, при х = l R_a = 0.

Линия влияния реакции R_a показана на рис. 3.4.

Для построения л.в. R_В запишем выражение этой реакции.

SM_А = 0. R_Вl – P∙ x = 0. или

л. в. . (3.2)

При х = 0 R_В = 0, при х = l R_В = 1. Линия влияния реакции R_В показана на рис. 3.4.

Построение линии влияния реакции R_a

Из уравнения равновесия S y = 0, получим R_a = P = 1, т. е.

л. в. R_B = 1 (см. рис. 3.6 (б)).

Построение линии влияния поперечной силы в сечении «k» Q_k.

Единичная сила Р = 1 находится справа от сечения «k». Рассмотрим правую часть балки.

Q_k = P = 1.

Далее, Р = 1 слева от сечения «k». Рассмотрим опять правую ненагруженную часть балки.

Q_k = 0.

Построение линии влияния изгибающего момента в сечении «k» М_k.

Пусть Р = 1 справа от сечения «k». Рассмотрим правую часть балки.

М_k = P∙х.

При х = 0, М_k = 0, при х = а, М_k = 1∙а = а.

Теперь Р = 1 слева от сечения «k». Рассмотрим опять правую ненагруженную часть балки.

М_k = 0.

Линии влияния Q_k и М_k приведены на рис. 3. 6 (в, г).

Пример 3.1. Построить линии влияния реакций и Q_k и М_k в шарнирно опертой балке с консолями (рис. 3.7.). Если выбрать начало координат на левой опоре в точке А, то полученные выше выражения для линий влияния в простой балке справедливы и в данном случае. При этом, координата х будет меняться от – с до l + d.

Дополнительно необходимо построить линии влияния поперечной силы для двух соседних сечений – одно слева от опоры А, другое справа от той же опоры.

3.4 Построение линий влияния при узловой передаче нагрузки.

Часто нагрузка передается на конструкцию не непосредственно, а через систему статически определимых балок (настилов) (рис. 3.8). Когда единичный груз находится в начале (т m) или в конце балки (т. n) то он полностью передается на основную конструкцию и вызывает усилия или y_m или y_n.

При движении единичной силы внутри вспомогательной балки ее действие на конструкцию осуществляется через опорные реакции R_m и R_n. Общее влияние в этом случае можно записать как:

Z_k = R_m∙y_m + R_n∙y_n.

В свою очередь сами реакции равны (они определяются как в обычной балке)

Тогда

-

получили уравнение прямой. При х = 0 Z_k = y_m, при x = d Z_k = y_n. Прямая, соединяющая ординаты y_m и y_n называется передаточная прямая.

В качестве примера на рис. 3.9 показаны линии влияния при узловой передаче нагрузки в пролетном строении моста.

3.5 Кинематический метод построения линий влияния

При расчете многопролетных балок аналитический метод построения линий влияния достаточно громоздок. В таких случаях наиболее удобен кинематический метод, основанный на принципе возможных перемещений - если система находится в состоянии равновесия, то сумма возможных работ всех внешних и внутренних сил на всяком возможном бесконечно малом изменении перемещений равна нулю.

Дадим единичное смещение левой опоры вверх. На основании указанного

принципа можно записать (рис. 3.10, б)

X∙d_xx - 1∙d_px = 0, X = d_px/ d_xx.

d_xx – постоянная величина,

d_px – переменная, зависит от х, следовательно

л. в. Х = (л. в. d_px)/ d_xx.

d_px = х∙tga, d_xx= l∙tga, тогда , т. е. линия влияния левой реакции R_А повторяет эпюру перемещений балки при смещении левой опоры на единицу по направлению левой реакции.

Аналогично получаем линию влияния R_В (рис. 3.10, в) путем вертикального смещения опоры B на единицу.

При построении линий влияния Q и М необходимо убрать связи, воспринимающие соответственно поперечную силу и изгибающий момент. Известно, что для соединения в неподвижную систему двух дисков (стержней) достаточно трех связей (рис.3.11).

 

Если убрать 2-ю связь, то данное сечение не будет воспринимать поперечную силу, а вертикальные кромки (торцы) левого и правого стержней будут смещаться параллельно друг другу.

Для построения линии влияния поперечной силы Q_k в сечении k двухопорной балки (рис. 1.12) убираем 2-ю связь и даем торцам взаимное вертикальное смещение на единицу, приложив в районе торцов малые положительные поперечные силы (рис. 3.12, б). Направление усилий совпадает с положительным направлением поперечной силы (по часовой стрелке). Отметим, что если при взаимном смещении торцы стержней параллельны, то параллельны друг другу левый и правый стержни целиком. На рис. 3.12, в показан вид линии влияния Q_k.

Если убрать в рассматриваемом сечении (рис. 3.11) 1-ю или 3-ю связь, то жесткое соединение превратится в шарнирное, поскольку в этом случае торцы могут свободно поворачиваться относительно друг друга. Такое сечение не воспринимает изгибающий момент. Врезав в сечении k шарнир (рис. 3.12, г) и задав единичное угловое смещение, приложив малые положительные моменты, можем записать работу сил на возможных перемещениях

- Р_х d_x + m_k(a + b) = 0,

Так как a и b малы, можем записать:

При x = b d_{x =} d_k, m_k = ab/l.

Таким образом, эпюры возможных перемещений, дают вид линии влияния М_k (рис. 3.12, д).

Для консольной балки линии влияния, полученные кинематическим способом, имеют вид, показанный на рис 3.13.