Устойчивость систем автоматического регулирования

К р и т е р и й у с т о й ч и в о с т и М и х а й л о в а. Левая часть уравнения представляет собой характеристический полином или собственный оператор САР D(р)

.

Если подставить в полином значение , где - круговая частота колебаний, соответствующих мнимому корню уравнения, то получим характеристический комплекс

,

где - вещественная часть, содержит четные степени

, ;

- мнимая часть, содержит нечетные степени ,

.

Функции и представляют собой модуль и фазу (аргумент) характеристического комплекса.

Уравнение не будет иметь корней в правой полуплоскости, если полное приращение аргумента при изменении равно , где - степень полинома . САР будет при этом устойчивой. Если полное приращение окажется меньше , то система неустойчива.

Чтобы установить связь между видом кривой Михайлова и знаками вещественных корней характеристического уравнения, определим, чему должен равняться угол поворота вектора при . Для этого запишем характеристический полином в виде произведения сомножителей

,

где - корни характеристического уравнения.

Характеристический вектор можно представить в виде

.

Каждое выражение в скобках представляет собой комплексное число. Следовательно, - произведение из комплексных чисел. При перемножении аргументы комплексных чисел складываются. Поэтому результирующий угол поворота вектора при изменении будет равен сумме углов поворота отдельных сомножителей

.

Если , где , то данный сомножитель будет . При изменении вещественная часть остается равной , а мнимая изменится от

до (рис. 5.29, а), т.е. на угол .

Если корень , где , то сомножитель при изменении от до изменится таким образом, что вектор повернется на угол от до , т.е. на угол (рис. 5.29, б).

Рисунок 5.29. Анализ сомножителей характеристического вектора

Если корни равны , то сомножители при аналогичном изменении повернутся на углы и (см. рис. 5.29, в). Тогда вектор, соответствующий данному произведению повернется на угол .

Аналогично, если , то .

Таким образом, если характеристическое уравнение из корней будет иметь корней с положительной вещественной частью, то каковы бы ни были эти корни (вещественные или комплексные), им будет соответствовать сумма углов поворота, равная , всем же остальным корням характеристического уравнения, имеющим отрицательные вещественные части, будет соответствовать сумма углов поворота, равная . Общий угол поворота вектора при изменении от до

.

В общем случае i-й сомножитель выражения в векторной форме можно представить в комплексной плоскости (рис. 5.30) при подстановке .

Рисунок 5.30. Представление i-го сомножителя характеристического вектора

Каждый сомножитель ,

где - модуль вектора ;

- фазовый угол вектора (его аргумент).

Тогда уравнение можно представить как

или ,

где R - модуль Михайлова, .

Если изменять частоту от до , то угол каждого из векторов изменится от до .

К р и т е р и й М и х а й л о в а читается так:

для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора в комплексной плоскости, полученный в результате подстановки в характеристическое уравнение, при изменении , нигде не обращаясь в н у л ь, развернулся п о с л е д о в а т е л ь н о против часовой стрелки на угол (где - степень уравнения).

Пример: CАР описана дифференциальным уравнением

движения

.

Оценить устойчивость САР по критерию Михайлова.

Решение:

Запишем уравнение в операторной форме:

.

Приравняв собственный оператор нулю , по-

лучим характеристическое уравнение

.

Делаем подстановку

и выделяем вещественную и мнимую части ( и ):

Вещественная часть ;

Мнимая часть .

Для отыскания точек годографа составим табл. 5.1.

Таблица 5.1

	0.5	0.48		-1.5	-7.5	-49	-199
		0.4	1.9			-105	-960

Строим годограф вектора на комплексной плоскости (рис.5.31).При , т.е. годограф вектора последовательно и не обращаясь в нуль повернется против часовой стрелки на угол, не превышающий значения . Таким образом, САР устойчива.

Рисунок 5.31. Годограф Михайлова

К р и т е р и й у с т о й ч и в о с т и Н а й к в и с т а основан на построении амплитудно-фазово-частотной характеристики р а з о м к н у т о й системы при изменении частоты от до .

Устойчивость системы определяется в следующем порядке:

· Строится структурная схема САР;

· Разрывают замкнутую систему, нарушая одну из связей контура (рис. 5.32,а);

Рисунок 5.32. Структурная схема САР и ее АФЧХ

· Определяют передаточную функцию разомкнутой системы

;

· Строят АФЧХ разомкнутой системы

,

где - соответственно амплитудно-частотные характеристики объекта и регулятора;

- соответственно фазово-частотные характеристики объекта и регулятора.

Введя замену для разомкнутой системы, получим АФЧХ

;

Для устойчивости САР необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ соответствующей разомкнутой системы не охватывала на комплексной плоскости точку с координатами (-1, 10). Произвольная АФЧХ устойчивой системы показана на рис. 5.32, б.

П р и м е р: Оценить устойчивость САРч с регулятором прямого действия с помощью критерия Найквиста, если степень неравномерности регулятора , время двигателя , время регулятора , время катаракта , степень неравномерности статической характеристики двигателя .

Решение:

Определим передаточную функцию разомкнутой системы

.

Определим АФЧХ значение и получим выражение для АФЧХ разомкнутой системы, где ;

.

Определим АЧХ при изменении , результаты сведем в табл. 5.2.

Определим ФЧХ, где

Результаты расчета при сведем в табл. 5.2.

Таблица 5.2

		9,28	7,81	6,4	5,3	4,47	2,42	1,64
		-21,7	-38,5	-49	-57,7	-61,3	-75,6	-80,2

Рисунок 5.33. Амплитудно-фазовая частотная характеристика