Преобразование Лапласа и передаточные функции

 

В теории автоматического управления часто используют операторную форму записи дифференциальных уравнений. При этом вводится понятие дифференциального оператораp = d /dt,так что, dy / dt = py, а pn = dn / dtn. Это лишь другое обозначение операции дифференцирования. Обратная дифференцированию операция интегрирования записывается как 1/p.

В теории автоматического управления широко применяется операторный метод описания линейных систем автоматического управления, использующий интегральное преобразование Лапласа (L – преобразование), имеющее следующий вид:

Данное преобразование называется прямым односторонним преобразованием Лапласа, преобразует функцию времени х(t) – оригинал, в функцию комплексной переменной

X (р) - изображение. Переменная рпредставляет собой комплексное число:

 

р = (a +jb)(1.17.)

 

где a, b - вещественные (действительные) части числа, j – мнимая единица.

Существует также обратный процесс перехода от изображения к оригиналу, называемый обратным преобразованием Лапласа (L-1 – преобразование), имеющее следующий вид:

 

Существуют требования, являющиеся достаточными условиями, при которых возможно применение преобразования Лапласа:

- функция оригинала х(t) должна быть непрерывна и однозначна при всех t ≥ 0. Непрерывность может быть нарушена только в отдельных точках, которые являются точками разрыва непрерывности первого рода,

- функция оригинала х(t) = 0 для всех t < 0,

- функция оригинала х(t) должна иметь ограниченный порядок возрастания, т.е должны выполняться следующие условия: должны существовать постоянные a > 0, b > 0,

при которыхх(t) < аеbt , при t > 0.

Для часто применяющихся функций и облегчения применения преобразования Лапласа существуют таблицы, пример приведен на рисунке 23.

 

№ п/п Вид функции (оригинал) Изображение функции по Лапласу
1. x(t) X(p)
2.
3. A x(t) A X(p)
4. 1(t) 1/p
5. d(t)=1(t)
6. di x(t)/dti, i=1…n pi X(p)
7. X(p)/p
8. x(t-t) e-pt X(p)
9. e±at 1/(p±a)
10. (1/l) e-atSinlt 1/[(p+a)2+l2]
11. (1/a)(1-e-at) 1/(p+a)p

 

Рис.23. Таблица преобразования по Лапласу наиболее часто встречающихся функций

 

Использование преобразования Лапласа дает возможность перейти от производных и интегралов к более простому алгебраическому выражению - функции комплексного переменного р.Используя преобразование Лапласа для дифференциального уравнения системы (1.14.) при нулевых начальных условиях, мы получим операторное описание системы в виде алгебраического уравнения:

Представив отношение изображения выходного параметра системы ко входному, получим передаточную функцию системы, которая не зависит от характера входного воздействия, а характеризует только собственные свойства системы. Данная функция имеет вид:

и в развернутом виде представляется, как:

 

Следовательно, передаточной функцией называется отношение величины выходного параметра, к величине входного параметра, преобразованных по Лапласу, при нулевых начальных условиях.

Приравняв полином знаменателя передаточной функции к нулю, получим из первоначального дифференциального уравнения характеристическое уравнение системы:

Решение однородного дифференциального уравнения определяется корнями характеристического уравнения. Значение переменной р, при котором передаточная функция W(p )= 0, называется нулем, а значение, при котором W(p ) = ∞ называется полюсом передаточной функции. Из (1.21.) следует, что нулями являются корни полинома B(p), а полюсами – корни полинома А(p).

Из выражения (1.20.) можно получить зависимость изображения по Лапласу выходной величины от изображения входной величины, которая будет иметь вид:

Первоначальное дифференциальное уравнение можно решить, применив к изображению выходной величины обратное преобразование Лапласа (1.18.), определив тем самым переходной процесс:

Применим к решению линейного дифференциального уравнения второго порядка, представленного ниже, преобразование Лапласа:

Для этого зададим начальные условия (значения y(1)(t) и y(t) в начальный момент времени t = 0) и изменение во времени x(t). Примем нулевые начальные условия: y(1)(0) = 0, y(0) = 0 и x(t) = 1 (t). С помощью таблицы (рисунок 23) преобразовав по Лапласу первоначальное дифференциальное уравнение, получаем:

Вынесем за скобки Y(р) и X(р), и получим:

 

Используя таблицу (рисунок 23), находим X(p) = L [1 (t)] =1/p и подставим данное значение в полученное уравнение, которое примет вид:

Решение уравнения относительно изображения выходной величины будет выглядеть таким образом:

Для того, чтобы найти решение дифференциального уравнения, необходимо произвести операцию обратного преобразования Лапласа с изображением Y (р), поэтому для удобства пользования таблицей преобразования необходимо привести трехчлен, находящийся в знаменателе, к удобному виду. Для этого данный трехчлен необходимо разложить на множители:

в котором p1иp2 — будут являться корнями уравнения

Получаем следующее выражение:

которое можно представить в виде суммы:

где С0,С1, С2 - коэффициенты, которые можно найти, решив тождественное уравнение, полученное путем сравнения числителя выражения (1.28.) и выражения (1.27.), деленного на а2. Далее по таблице преобразования Лапласа (рисунок 23) найдем оригиналы для каждого слагаемого и получим следующее решение:

где С0,С1, С2 – коэффициенты, выступающие в качестве постоянных интегрирования, которые могут быть найдены по формулам начальных условий.

 

Пример применения преобразования Лапласа

 

Пусть система описывается следующим уравнением:

а0 y ′′ + a1 y ′ + a2 y = k x (1.35.)

 

Необходимо найти передаточную функцию W(p)системы при

k = 1, а0 = 1, a1 = 3, a2 = 2.

 

Решение:

Преобразуем уравнение системы с помощью преобразования Лапласа.

Получим следующее выражение:

 

(a0 p2 + a1 p + a2 )Y (p) = kX (p) (1.36.)

 

Подставив имеющиеся числовые значения и преобразовав предыдущее выражение, получим значение передаточной функции, равное:

Задание выполнено.

 






Дата добавления: 2017-01-26; просмотров: 5931;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2020 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь
Генерация страницы за: 0.01 сек.