Особенности устойчивости нелинейных систем

Дифференциальное уравнение замкнутой системы регулирования n - ro порядка можно преобразовать в систему n - дифференциальных уравнений первого порядка:

(3.2.)

где х₁ – значение регулируемого параметра, x₂,..., х_n — вспомогательные переменные, z и х₀ – значения возмущающего и задающего воздействий.

Рассмотрим уравнение третьего порядка, имеющее три переменных: х₁, х₂, x₃, которые представлены на рисунке 92, как координаты точки М', определяющие состояние системы в какой-то момент времени. Переменные х₁, х₂, x₃ изменяются во времени в соответствии с влиянием на систему внутренних и внешних факторов, поэтому точка М' перемещается в пространстве, описывая траекторию, которая является хорошим наглядным примером поведения системы в процессе управления, что изображено на рисунке 92,а.

Пространство, в котором движется изображающая точка, в нашем случае (х₁, х₂, x₃), называется фазовым пространством, точка М' — изображающей точкой, траектория точки М' – фазовой траекторией. Фазовым портретом называется совокупность фазовых траекторий, полученных при различных начальных условиях. Фазовой плоскостью называется плоскость, в которой движется изображающая точка, при наличии в уравнении всего двух переменных (уравнение второго порядка). На рисунке 92,б изображена фазовая плоскость, где одной координатой точки М' является регулируемая величина х, а другой – скорость изменения регулируемой величины dx/dt = h.

Рис.92. Графическое представление процесса управления:

а) в фазовом пространстве, б) на фазовой плоскости

Различные переходные процессы, происходящие в линейных системах, имеют различные фазовые траектории. На рисунке 93 изображено соответствие изменения положения точки М_i при колебательном процессе (рисунок 93,а) изменению положения точки М_i' на фазовой плоскости (рисунок 93,б), причем (х > 0, х' = 0).