Линейные операции над матрицами

Пусть даны две матрицы и .

Суммой двух матриц и одинакового типа называется матрица того же типа, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц и , т.е.

.

Разностью двух матриц и одинакового типа называется матрица того же типа, элементы которой равны разностям соответствующих элементов матриц и , т.е.

.

Произведением матрицы на число называется матрица, элементы которой получаются из элементов матрицы умножением на число :

.

Легко проверить, что операции сложения матриц и умножения матрицы на число, называемые линейными операциями над матрицами, обладают следующими свойствами:

Умножение матриц

Произведение матрицы на матрицу определяется в предположении, что число столбцов матрицы равно числу строк матрицы .

Пусть даны две матрицы и .

Произведением двух матриц и , заданных в определенном порядке ( - первая и - вторая), называется матрица , элементы которой определяются по следующему правилу: элемент ой строки и го столбца матрицы равен сумме произведений элементов ой строки матрицы на соответствующие элементы го столбца матрицы , т.е. .

Произведение матриц обладает следующими свойствами:

1) вообще говоря, , т.е. произведение матриц некоммутативно;

2) произведение матрицы на единичную матрицу равно самой матрице , т.е. ;

3) произведение матриц подчиняется ассоциативному (сочетательному) закону, т.е. ;

4) ;

5) Для произведения и суммы матриц выполняется дистрибутивный (распределительный) закон и .