Наименьших квадратов

Конечная цель проведения эксперимента - установление функциональной связи (зависимости) между варьируемыми параметрами и выходным параметром и описание этой зависимости математической формулой.

Каждый эксперимент состоит из ряда опытов. В каждом опыте принимаются разные значения исследуемого параметра. Для обеспечения требуемой точности эксперимента в каждом опыте проводится определенное количество повторений или дублей. Например, для обеспечения уровня надежности (доверительной вероятности) 0,9 количество дублей в каждом опыте должно быть не менее 5. Для обеспечения уровня надежности (доверительной вероятности) 0,95 количество повторений должно быть не менее 7.

В основном для обработки экспериментальных данных с применением ЭВМ применяют метод наименьших квадратов (метод Гаусса).

Для понимания сути данного метода рассмотрим сначала рис.3.4. На нем в обычных и логарифмических координатах изображены опытные значения (точки) и, соответственно, аппроксимирующая кривая и аппроксимирующая прямая.

Рис.3.4. Иллюстрация реализации метода наименьших квадратов

На рис. 3.4 y₁, y₂, …, y_n – экспериментальные значения, f(x₁), f(x₂), …, f(x_n) – расчетные значения аппроксимирующей функции. Аналогичные значения, но только в логарифмическом измерении, приведены на правой части рисунка.

В основе метода наименьших квадратов лежит следующее положение: наилучшее приближение аппроксимирующей функции y = f(x) к экспериментальным данным будет в том случае, когда сумма квадратов отклонений расчетных значений f(x₁), f(x₂), …, f(x_n) от экспериментальных данных y₁, y₂ … y_n, является минимальной [16], т.е.

или

.

Разность в выражении для S есть отклонение по ординате i – ой экспериментальной точки от заменяющей (аппроксимирующей) кривой. Квадраты отклонений берутся, чтобы компенсировать знаки «–» отклонений.

Для определенности задачи искомую функцию f(x) будем выбирать из класса алгебраических многочленов степени m:

.

Назовем данный многочлен – аппроксимирующим многочленом. Аппроксимирующий многочлен не проходит через все узловые точки экспериментальных данных. Поэтому его степень m не зависит от числа узловых точек n. При этом всегда m < n. Степень m может меняться в пределах 1≤ m ≤ N-2.

Если m=1, то мы аппроксимируем табличную функцию прямой линией. Такая задача называется линейной регрессией.

Если m=2, то мы аппроксимируем табличную функцию квадратичной параболой. Такая задача называется квадратичной аппроксимацией.

Если m=3, то мы аппроксимируем табличную функцию кубической параболой. Такая задача называется кубической аппроксимацией.

Сумма S будет минимальной, если ее частные производные по параметрам a_i равны нулю. Аналогично сумма S^’ будет минимальной, если ее частные производные по параметрам C и k равны нулю. Произведя дифференцирование и соответствующие преобразования, получают систему нормальных уравнений, которая затем решается для нахождения искомой постоянной C и показателя степени k. Для обработки экспериментальных данных с целью получения аппроксимирующих функций используют компьютерные программы, реализующие метод наименьших квадратов. В частности программы EXCEL и MATHCAD, применение которых будет рассмотрено на практических занятиях.

Пример. Получены экспериментальные данные зависимости коэффициента напряженного состояния n_σ от фактора формы очага деформации l/h_c при прокатке высоких полос [28] (таб. 3.1).

Таблица 3.1

Экспериментальные данные зависимости коэффициента напряженного состояния n_σ от фактора формы очага деформации l/h_c

при прокатке высоких полос

На рис. 3.5 представлены экспериментальные точки на поле будущего графика в EXCEL, а на рис. 3.6 аппроксимация логарифмической зависимостью у= 0,8582–0,6498ln(x), коэффициент корреляции 0,9. В работе [28] эта зависимость аппроксимирована формулой

.

nσ

l/hc

Рис. 3.5. Экспериментальные точки на графике, построенном в EXCEL

Путем изменения параметра х=l/h_c на х=h_c/l можно получить из нелинейной зависимости – линейную (таблица 3.2).

Таблица 3.2

Экспериментальные данные зависимости коэффициента напряженного состояния n_σ от фактора формы очага деформации h_c/l

при прокатке высоких полос

nσ

l/hc

Рис. 3.6. Аппроксимация в EXCEL логарифмической зависимостью

у= 0,8582–0,6498lg(x)

На рис. 3.7 представлена линейная аппроксимация данных табл. 3.2.

nσ

hc/l

Рис. 3.7. Линейная аппроксимация зависимости коэффициента напряженного

состояния n_σ от фактора формы очага деформации h_c/l при прокатке высоких полос

Данный пример наглядно показывает, как правильный подбор параметров позволяет сделать зависимость линейной. В работе [28] эта зависимость аппроксимирована по методу избранных точек и методу средних (т.е. через две избранные точки) формулой .