Возможности программы Deform 3D.

DEFORM - 3D является системой конечно-элементного моделирования разрабатываемой компанией Scientific Forming Technologies Corporation (SFTC), и предназначена для анализа трехмерного течения металла при различных процессах обработки металлов давлением. Данная система позволяет прогнозировать характер формоизменения с высокой точностью и минимальными затратами на экспериментальные проверки. Ниже перечислены операции которые возможно моделировать в Deform:

- ковка;

- выдавливание;

- протяжка;

- механообработка;

- высадка;

- прессование;

- прокатка;

- вытяжка;

- осадка.

В данной программе есть собственный сеточный построитель, который производит полностью автоматическое разбиение сетки конечных элементов во время моделирования (адаптивное перестроение сетки) и присутствует библиотека оборудования для горячей и холодной штамповки.

Модели материалов используемые в программе могут быть следующих типов: жесткие, пластичные, упруго-пластичные, пористые, упругие.

Конечные элементы и модели материалов позволяют отслеживать места разрушения материалов. Для сложных переходных процессов присутсвует возможность задавать параметры многопереходных процессов (рис. 4.9).

Рис. 4.9. Анализ кованой детали в Deform

Кроме анализа напряжений, деформаций и температур в заготовке и инструменте, в программе предусмотрена возможность определения энергетических и силовых параметров оборудования.

Главным преимуществом системы Deform перед универсальными конечно-элементными пакетами типа Ansys, LS-Dyna или MSC-Marc является ее объектная ориентированность, что позволяет ее легко осваивать специалисту никогда прежде не использовавшего МКЭ в своей практике. Подобная технологическая ориентация данной программы прослеживается во всей структуре программы и позволяет исследователю в области ОМД легко ориентироваться в инструментарии программы благодаря привычным терминам.

Следует отметить, что расчет процессов ОМД может осуществляться не только в специализированных пакетах программ, но и в доступных математических пакетах – MathLAB и MathCAD (использование дано в практикуме). При использовании этих пакетов целесообразно производить моделирования процессов, которые описываются аналитически, то есть отработанных методик. Данные пакеты обладают обширным функционалом для автоматизации вычислений и позволяют легко построить аналитическую схему вычисления, например для установившегося процесса прокатки.

Другим путем разработки сложных численных алгоритмов решения задач ОМД может быть использование специальных средств разработки, таких как Diffpack, который, является профессиональным объектно-ориентированным и проблемно-решающим окружением для численного решения дифференциальных уравнений в частных производных и разработки независимых приложений.

Уникальность программы Diffpack заключается в его возможностях. Данная пакет программ является объектно-ориентированным окружением, работающим под С++, предназначенным для решения дифференциальных уравнений в частных производных. Он представляет собой совокупность текстов программ, написанных на языке C++, и библиотек, что позволяет с минимальными затратами времени создавать консольные приложения или приложения Windows для решения уравнения или системы уравнений в частных производных. В программе реализован новый подход к решению задач математической физики за счет того, что пользователь сам может задавать решаемое уравнение или систему дифференциальных уравнений в частных производных.В программе есть возможность интеграции с существующим программным обеспечением и связь с FORTRAN программами. Для решения дифференциальных уравнений в частных производных в программе предусмотрен широкий выбор методов решения – метод конечных элементов, метод конечных разностей, конечных объемов и их различные модификации с аппроксимациями функций высокого порядка. Для эффективного решения присутствуют алгоритмы адаптивного сгущения сеток, декомпозиции областей, распараллеливания вычислений, многосеточных методов, а также высокоэффективные алгоритмы решения СЛАУ. В программе присутствуют широкие возможности для анализа и обработки данных и отображения результатов вычисления. Предусмотрена поддержка взаимодействия с ANSYS, Abaqus, и другими CAE.

При выполнения практикума предусмотрены работы по освоению пакета ANSYS и LS-DUNA.

Ниже приведены примеры использования МКЭ при решении различных задач [33].

5. Постановка и методы решения задач Оптимизации

5.1. Общая постановка задач оптимизации

При проектировании любых технических объектов, технологических процессов и систем всегда решаются задачи выбора и принятия решений.

Задачей принятия решения называют кортеж (совокупность)

,

где X – множество вариантов решения задачи;

O – принцип оптимальности, дающий представление о качестве вариантов, в простейшем случае – это правило их предпочтения друг перед другом.

Решением задачи принятия решений называется множество , которое является подмножеством множества , полученное на основе принципа оптимальности.

Задачи принятия решений классифицируются по наличию информации об X и O и бывают трех видов:

1. X и O – неизвестны. Это общая задача принятия решений. Данные для получения x_опт определяют в данной задаче в процессе ее решения.

2. X –неизвестно, O – известно ( эта задача поиска вариантов).

3. X и O – известны (это задача оптимизации).

В общем случае задача принятия решения решается в два этапа:

1 этап: Задача формализуется, т.е. строится ее математическая модель, в которой конкретные физические, технические, технологические, экономические условия и требования к объекту воплощаются в виде задачи оптимизации с определенной целевой функцией и допустимым множеством вариантов.

2 этап: Решение задачи оптимизации с использованием известных методов.

Рассмотрим основы теории оптимизации. «Теория оптимизации», с одной стороны, является самостоятельной наукой, а, с другой стороны, составной частью науки под названием «исследование операций».

Операция (в данной науке) – это совокупность взаимосогласованных действий, направленных на достижение вполне определенной цели.

Обязательно должно быть сформулирована цель. Если есть разные пути достижения этой цели, то необходимо найти наилучший из них.

Постановка задачи оптимизации включает в себя множество допустимых решений и числовую функцию f, определенную на этом множестве, которая называется целевой функцией.

Нельзя отождествлять критерий (критерии) оптимальности и целевую функцию.

Целевая функция – это аналитическая зависимость между критерием (критериями) оптимальности и подлежащими оптимизации параметрами с указанием направления экстремума.

Выбор критериев – сложная задача, т.к. цели при проектировании любого объекта, как правило, противоречивы (обеспечение минимальной стоимости и максимальной надежности, максимальной производительности и минимальной энергоемкости и т.д.).

Если требуется оптимизировать один из показателей качества проектируемого объекта при соблюдении ограничительных требований на остальные показатели, то нужно сформировать один частный критерий. Задача оптимизации при этом сводится к задаче максимизации (минимизации) данного критерия с учетом заданных ограничений.

При наличии нескольких критериев выбирают:

а) аддитивный критерий, если существенное значение имеют абсолютные значения критериев при выбранном векторе параметров X;

б) мультипликативный критерий, если существенную роль играет изменение абсолютных значений частных критериев при вариации вектора X;

в) максиминный (минимаксный) критерий, если стоит задача достижения равенства нормированных значений противоречивых (конфликтных) частных критериев.

Отличие понятий «критерий» и «целевая функция» состоит в следующем:

1. Целевая функция может включать в себя более одного критерия.

2. Для целевой функции всегда и обязательно указывается вид экстремума:

Различают два вида задач оптимизации:

1. Задачу минимизации.

2. Задачу максимизации.

Чтобы решить задачу минимизации функции f на множестве X, необходимо найти такой вектор ( а также соответствующее значение целевой функции ), чтобы неравенство: выполнялось для всех . При этом x₀ называют оптимальным решением (точнее здесь – минимальным решением), а - оптимумом (минимумом).

Чтобы решить задачу максимизации функции f на множестве X, необходимо найти такой вектор (а также соответствующее значение целевой функции ), чтобы неравенство: выполнялось для всех . При этом x₀ называют оптимальным (максимальным) решением, а – оптимумом (максимумом).

В общем виде находится именно вектор x₀, т.к., например, при решении двухпараметрической задачи, он будет включать в себя два параметра, трехпараметрической – три параметра и т.д.

Локальный и глобальный минимум (максимум) целевой функции.

При решении задач оптимизации следует иметь в виду, какой вид имеет целевая функция.

Например, . Целевая функция имеет вид, как показано на рис. 5.1. Здесь точка x₀ - глобальный минимум, а точка x₁ - локальный минимум целевой функции.

Пусть теперь , а целевая функция имеет вид, как показано на рис.5.2. Здесь точка x₀ - глобальный максимум, а точка x₁ - локальный максимум целевой функции.

Рис.5.1. Иллюстрация понятий «локальный минимум» и «глобальный минимум» целевой функции

Рис.5.2. Иллюстрация понятий «локальный максимум» и «глобальный максимум» целевой функции

Разрешимость задач оптимизации.

Приведенная выше задача оптимизации имеет решение не при любых целевых функциях и допустимых множествах. Существуют задачи, в которых невозможно найти оптимальное решение и экстремум целевой функции. Например, не существует точек минимума функции одной переменной f на множестве в случаях, приведенных ниже на рис. 5.3, 5.4 и 5.5.

Рис.5.3. Иллюстрация случая, когда множество допустимых решений не замкнуто

Здесь граница «а» множества допустимых решений в интервал входит, а граница «b» нет.

- множество X не замкнуто, следовательно, – не существует.

В случае, представленном на рис.5.4, определена лишь одна левая граница множества допустимых решений. , т.е. множество допустимых решений неограниченно.

Рис.5.4. Иллюстрация неограниченности множества допустимых решений

На рис. 5.5. показан еще один случай, когда задача оптимизации не имеет однозначного решения.

Рис.5.5. Иллюстрация случая, когда функция f(x) не является непрерывной

Здесь функция не является непрерывной, т.к. в точке существуют два значения функции – и .

Следовательно, задача оптимизации разрешима, если выполняются следующие три условия:

1. Множество допустимых решений X замкнуто, т.е. если предельные точки принадлежат этому множеству.

2. Множество X ограничено.

3. Целевая функция непрерывна.

Это нестрогая формулировка теоремы Вейерштрасса [34].

Определение. Пусть на множестве u, состоящем из элементов u линейного метрического пространства определена скалярная функция Φ(u).

1. Говорят, что Φ(u) имеет локальный минимум на элементе u^*, если существует его конечная ε - окрестность, в которой выполнено

(5.1)

2. Φ(u) достигает глобального минимума в u на элементе u^* (строгий, абсолютный минимум), если имеет место равенство

(5.2)

Замечание. Если u - числовая ось, решается задача на нахождение минимума функции одного переменного, если u – n-мерное векторное пространство, имеется задача на нахождение минимума функции n переменных, если u – функциональное пространство, то решается задача на отыскание функции, доставляющей минимум функционалу (задача оптимального управления или динамического программирования).

Если к (5.1) или (5.2) добавляются условия

( - числа, a Φ_i - заданные функции), то это задача поиска условного минимума, если подобные ограничения отсутствуют, то это задача поиска безусловного минимума. Причем, если функции Φ_i(u) линейны, задача поиска условного минимума называется задачей линейного программирования, если хотя бы одна из этих функций нелинейна, то имеется задача нелинейного программирования. Обе эти задачи вместе с задачей динамического программирования в теории оптимального управления называются задачами математического программирования.