Пример релейной системы с двухпозиционным реле с опережением.

В заключение приведём пример релейной системы с двухпозиционным реле с опережением (с отрицательным гистерезисом) и объектом, имеющим передаточную функцию – два интегратора с запаздыванием. Коэффициент усиления k=1, запаздывание τ=0,05. параметры реле: а=с=1. Начальное значение процесса: х=-2, y=0,14. на рисунке 13а приведен фазовый портрет, на рисунке 13b – график функции времени.

Рис. 13а

Рис. 13b

х₂=y; х₁=х.

§4. Система управления с переменной структурой объектом второго порядка.

Покажем технику применения скользящих режимов на фазовой плоскости на примере системы второго порядка, относящейся к так называемому классу систем с переменной структурой. Этот класс систем был разработан коллективом ученых под руководством С.В.Емельянова в конце 60-х годов.

Предположим, что объект управления имеет передаточную функцию

(1)

Коэффициенты передаточной функции b и с могут изменяться в процессе работы, принимая, в том числе, и отрицательные значения. Известно только, что по модулю они ограничены некоторой величиной d. Рассмотрим способ построения системы стабилизации такого объекта, т.е. задача состоит в том, чтобы при любом начальном положении фазовых координат объекта выход системы возвращался в исходное положение равновесия.

Для решения поставленной задачи используем систему, структурная схема которой приведена на рисунке 1.

Рис. 1

Система работает следующим образом. В зависимости от величины изображающей точки на фазовой плоскости xy (y = x’) блок управления соединяет вход системы (координата u) или с точкой 1 или с точкой 2. В результате система на рисунке 1 преобразуется в одну из линейных систем, показанных на рисунках 2 и 3.

Рис. 2 Рис. 3

Характеристическое уравнение для структуры, изображённой на рисунке 2, имеет вид:

(2)

Величину k выбирают из условия, чтобы она была значительно больше d. Корни характеристического уравнения (2):

p_1,2= (3)

Характеристическое уравнение для структуры, изображённой на рисунке 4, имеет вид:

(4)

Корни характеристического уравнения (4):

p_1,2= (5)

Корни уравнения (3) являются комплексными (устойчивыми или неустойчивыми в зависимости от знака коэффициента b), а корни уравнения (5) являются действительными и разного знака. Эти утверждения следуют из того, что величина k выбирается значительно больше, чем модуль коэффициентов b и с. Поэтому можно приближённо записать:

(6)

(7)

Таким образом, структура на рисунке 2 имеет особую точку типа «фокус» (устойчивую или неустойчивую, в зависимости от знака коэффициента b). А структура на рисунке 3 имеет особую точку типа «седло». На рисунках 4 и 5 приведены фазовые портреты для неустойчивого фокуса и узла. При этом в случае «узла» обозначена асимптота траектории, соответствующая устойчивому корню узла. К примеру, если характеристическое уравнение (4) имеет действительные корни –α и +β (α,β>0), то уравнение асимптоты а₁а₂ имеет вид:

y = -αx (8)

Проведем на плоскости линию S₁S₂, имеющую равнение y = λx. Величина λ выбирается таким образом, чтобы при любом допустимом значении α линии а₁а₂ и S₁S₂ располагались, как показано на рисунке 6.

Рис.4	Рис.5
Рис. 6	Рис. 7

Блок управления разбивает фазовую плоскость на области. Первая область - Z₁Z₂, вторая область – Н₁Н₂, как показано на рисунке 7. Если изображающая точка находится в области Z₁Z₂, то включается система, изображенная на рисунке 2, и точка движется по соответствующей ветви гиперболы (седла), как показано на рисунке 9, до попадания на одну из границ области. Если изображающая точка находится в области Н₁Н₂, то включается система, изображенная на рисунке 3., и изображающая точка движется по спирали устойчивого или неустойчивого фокуса пока не выйдет на границу области (рис. 8).

Как видно из рисунка 10, изображающая точка, попав на линию S₁S₂, не может с нее сойти, т.к. все траектории острием упираются в линию S₁S₂.

Изображающая точка движется по этой линии к началу координат в соответствии с дифференциальным уравнением

(9)

Линия S₁S₂ называется линией скольжения, а уравнение (9) – уравнением скольжения.

На рисунке 11 показано разбиение фазовой плоскости, которое использует регулятор при стабилизации объекта.

Рис.8	Рис.9
Рис.10	Рис.11

Замечание.

Обратим внимание, что одна из двух линейных структур, показанных на рисунках 2 и 3, заведомо неустойчива (это структура 3), а другая структура (показанная на рисунке 2) может быть устойчивой и может быть неустойчивой в зависимости от знака коэффициента b. Однако, исходная система, получаемая в результате переключения с одной структуры на другую, является устойчивой. Отсюда ясно происхождение названия – «система с переменной структурой».

§5. Исследование динамики релейной системы управления объектом, имеющим передаточную функцию .

Релейные системы управления объектом с такой передаточной функцией часто встречаются в задачах автоматизации производственных процессов.

Прежде чем переходить к исследованию динамики, выясним вопрос о том, в каком случае величина запаздывания в объекте считается большой, а в каком маленькой. Оценка величины запаздывания τ производится по соотношению запаздывания и постоянной времени. Мы говорим, что запаздывание достаточно велико, если .

Приведем два примера релейных систем.

1. Упрощенные принципиальные схемы двух систем данного класса.

Рис. 1

На рисунке 1 показана релейная следящая система с двигателем постоянного тока. Угол поворота вала двигателя связан с напряжением на его якоре передаточной функцией

(1)

Разность между заданным углом поворота вала и действительным углом его поворота определяется разностью напряжений двух идентичных потенциометров Р₁ и Р₂. Поворот стрелки потенциометра Р₂ задает входной сигнал, а поворот стрелки потенциометра Р₁ (измерительного потенциометра) показывает действительный угол поворота рабочего вала. Сигнал рассогласования поступает на вход релейного усилителя, сигнал с выхода релейного усилителя поступает на якорь двигателя Д. На валу двигателя находится тахогенератор (ТГ). Напряжение на выходе тахогенератора пропорционально скорости вращения вала Ω, которое является, естественно, производной от угла поворота.

В качестве второго примера рассмотрим систему стабилизации температуры в газовой печи, показанную на рисунке 2. система работает следующим образом. Для изменения подачи управляющего воздействия - газа используется задвижка 2. Для измерения температуры печи применяется мостовая схема, содержащая терморезистор R_θ., сопротивление которого меняется в зависимости от температуры.

Рис. 2

Мостовая схема настраивается таким образом (положением точки 5), что при заданной температуре в камере печи мост сбалансирован, и контакты α и β разомкнуты. Двигатель постоянного тока Д неподвижен. При изменении температуры в камере печи мост разбалансируется. Управляющая цепь реле П замкнет или контакты α, или контакты β. Если замкнут какой-нибудь из контактов (α или β), то двигатель придёт в движение, при этом направление вращения по часовой стрелке или против зависит от того, какие контакты α или β замкнуты. Если температура в печи возросла, то двигатель Д, естественно, начнет закрывать задвижку. Если температура упала – открывать. Передаточная функция печи, где входное воздействие – количество поступающего газа в единицу времени, а выходной сигнал – температура внутри камеры, с достаточной для практики точностью описывается передаточной функцией:

(2)

Постоянная времени печи настолько велика, что постоянными времени исполнительного двигателя Д можно пренебречь. Передаточную функцию, связывающую сигнал на входе двигателя Д и угол поворота вала задвижки (количество топлива, поступающего в единицу времени в печь), можно записать в виде интегрирующего звена:

(3)

Для исследования динамики используем полученные путем масштабирования уравнения в простейшей форме.