Эталоны решения типовых задач

Задача 1(а). Найти производную функции: .

Решение: Для решения задачи необходимо применить правило дифференцирования алгебраической суммы: и формулу производной степенной функции: . Тогда получим:

Ответ:

Задача 1(б). Найти производную функции:

Решение: Применяя правило дифференцирования произведения функций , находим

Ответ:

Задача 1(в) .Найти производную функции: ; x²-1≠0.

Решение:Применяя правило дифференцирования частного функций: ; v≠0

находим:

Ответ:

Задача 2(а). Найти производную функции: .

Решение: Данная функция может быть представлена в виде сложной степенной функции: .

В соответствии с формулой производной сложной степенной функции: , имеем:

.

Ответ:

Задача 2(б). Найти производную функции:

Решение: Применяем правило дифференцирования сложной функции: и имеем:

Ответ:

Задача 2(в). Найти производную функции: .

Решение: Данная функция является сложной и её производная определится следующим образом:

.

Ответ: .

Задача 3(а). Найти производную второго порядка от функции: .

Решение: Находим первую производную: .

Зная, что производной второго порядка называется производная от производной первого порядка, получаем:

Ответ:-

Задача 3(б). Точка движется по закону: x=t–sint. Определить мгновенные скорость и ускорение точки.

Решение: Мгновенная скорость точки характеризуется первой производной от смещения x по времени t: . Мгновенное ускорение точки характеризуется второй производной от смещения x по времени t или первой производной от скорости по времени: .

Ответ:; .

Задача 4. Определите зависимость градиента концентрации от координаты, если зависимость концентрации от координаты задана функцией: , где k - константа, а C₀ есть концентрация вещества при x=0.

Решение: Величина градиента концентрации определяется выражением и характеризует быстроту изменения концентрации при изменении координаты. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции: , в данном случае получим:

.

Ответ: величина зависимости градиента концентрации от координаты

.

Задача 5. Найти дифференциал функции: .

Решение: По определению , т.е. чтобы найти дифференциал одной переменной, нужно найти производную и умножить её на дифференциал аргумента dx. Искомый дифференциал будет:

Ответ: .

Задача 6.Найти полный дифференциал функции:

Z=3x²y³+8xy²-3y+e^x.

Решение: