В) Математика сошного письма. Особенности метрологии.

Сошное письмо - в России XV-XVII веков описание земельных владений на селе и в городах Московского государства, кадастровая система, единицей которой служила соха; проводилось с целью последующего поземельного обложения, то есть сбора податей и отбывания повинностей. Сошное письмо изложено в рукописи «О земном же верстании, как землю верстать», в которой описаны правила нахождения площадей простых земельных участков (7 задач).

Землю измеряли в четвертях, десятинах и их частях, а результат переводили в сохи или её части. Но соха не имела постоянный размер, а зависела от качества земли: 1 соха = 800 четвертям хорошей, 1000 четвертям средней и 1200 четвертям плохой земли. Наряду с сохой в качестве окладной единицы применялась выть(составляла 12 четвертей хорошей, 14 –средней и 16 – плохой земли). При этом существовал принцип «одабривания» определённое количество четвертей средней и плохой земли приравнивалось к соответствующему количеству хорошей земли. Сохи, четверти, трети и выти делились на части, кратные 2 и 3 и назывались соответственно «пол» , «треть» , «четверть» , «полчетверти» , «полтрети» , «полполчетверти» и т.д.. Действия над такими дробями приводились к действиям с целыми числами.

Задача 1 – простейшая (вычислялась площадь прямоугольника со сторонами 40 и 53 сажен). Её решали разбиением на квадраты со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника и находили сумму площадей этих квадратов и площади прямоугольника – остатка, выражая её как часть площади квадрата.

В задаче 2 поле имело форму трапеции (равнобедренной), а его площадь найдена как произведение полусуммы оснований на боковую сторону - «хобот». В рукописи – ошибка, в других более поздних списках она исправлена.

В задачах 3 и 4 находили площадь четырёхугольника. Для вычисления площади в задаче 3 поле разбивали на 3 треугольника и четырёхугольник, который считали равнобедренной трапецией. Площадь четырёхугольника находили аналогично предыдущей задаче, а площадь треугольника путём умножения половины одной стороны на другую. Ясно, что такой способ применим только к фигурам, приближенным к прямоугольному треугольнику. В задаче 4 рисунок к ней и условие не совпадали, но основная идея такова – разбиение фигуры на 4 треугольника (прямоугольных).

В задаче 5 вычислялась площадь пятиугольного поля разбиением его на 6 треугольников, а рисунок опять не соответствовал условию.

Задача 6 – вычисление площади трапеции, разбитой на 2 треугольника и прямоугольник. В задаче 7 поле имело форму четырёхугольника, сходного с задачей 3, но его площадь найдена иначе (сумма площадей 3 треугольников и четырёхугольника с равными противоположными сторонами). Задача интересна тем, что содержит вычисления с целыми и именованными числами, отличающимися от современной только формой записи.

По мнению учёных (В.В. Бобынин, Т. Райнов), составители землемерной геометрии не имели представления о точных формулах Евклида, скорее всего их способы сложились в процессе длительной землемерной практики.

Что касается метрологии, то употреблялись для измерений как прежние, так и множество новых мер, в том числе, зависящих от места расположения.

Меры длины:

· сажень:великая - 249,46 см, сажень без чети - 197,21 см, мерная - ≈ 167,4 см, косая – 216,04 см, прямая – 152,76 см, трубная – 187,08 см, морская – 184 см;

· локоть: простой и смоленский;

· верста: по писцовому указу 1554 г. = 500 саженям, но употреблялись вёрсты в 600, 650, 750 и 1000 саженей;

· аршин = 4 пядям = 16 четвертям (известен с XVI в.), но в XVII в. узаконен государством («печатный аршин» - 1656, 1681 гг.).

Меры площади – соха, выть, четверть, десятина.

· десятина по писцовому указу 1554 г. – в длину и ширину по 50 саженей, а по уставной грамоте 1688 г. – в длину 80, а в ширину – 40 саженей.

Меры сыпучих тел:

· кадь (бочка, оков) ≈ 14 пудов =2 половникам = 4 четвертям = 8 осьминам;

· местные меры(Новгород – короб, корец и ласт (120 пудов зерна); Двина – пуз (10 пудов зерна или соли); Псков – зобница = 2 позобенья = 4 четвёркам; Белозеро – овёс и соль измеряли мехами).

Меры жидкостей: бочка, насадка, ведро и корец.

По новгородским писцовым книгам 1бочка = 10 вёдер= 4 насадки.

Меры веса: большая (96 золотников) и малая гривенки (48 золотников), соответствующие древнерусским гривнам Киевской Руси. В рукописях встречаются берковец, контарь, пуд, золотник, почка, пирог.

Денежная система:

· в берестяной грамоте 1 (1-я четверть XV в.) феодальная подать в белках и натурой;

· современный денежный счёт, основанный на делении рубля на 100 копеек (денег), сложился в XV веке на сочетании новгородской и московской систем:

· из этих денежных единиц до XVIII в. только деньга была серебряной чеканной монетой, остальные – счётные единицы;

· при Иване III Великом (1440-1505) удельные князья лишены права чеканить собственную монету, это была привилегия московского князя, причём 2 «московки» =1 «новгородке».