Теорема о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы. Теорема о вириале.

Первую из этих теорем можно доказать с помощью распределения Максвелла, но мы покажем это с помощью более общих соотношений классической механики.

Первая теорема гласит, что на каждую степень свободы приходится кинетическая энергия, равная .

Доказательство:

Пусть система находится в термостате и справедливо распределение Гиббса: , есть .

Рассмотрим среднюю по ансамблю величину:

,

где , .т.е. - просто без i-ой переменной.

Далее:

Первая подстановка = 0, и

.

Таким образом (43)

Теперь рассмотрим форму для Гамильтониана

(44)

(кинетическая энергия + потенциальная энергия). (Как бы считаем, что на каждую степень свободы приходится k_i, теперь убеждаемся в этом).

Причём от не зависит, может зависеть только от . Например, в декартовой системе координат - просто импульс: ).

Возьмём , тогда из (44)

таким образом

(45)

Средняя кинетическая энергия всех степеней свободы одинакова и равна .

Если - получим теорему о вириале:

(46)

Примеры:

1) одноатомный идеальный газ:

f = 3N; (47)

2) 2-x атомный идеальный газ

(5 степеней свободы)

, где - приведённая масса, J – момент инерции при вращении, а - соответствующие моменты импульса (обобщённые импульсы).

(48)

3) одномерный осциллятор

(49)

Средний вириал:

, равенство средней и молекулярной энергии.

Таким образом: