Раскрытие неопределённостей. Правило Лопиталя

При решении задач, связанных с вычислением пределов функций, часто непосредственная подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределённым выражениям вида: Нахождение предела в таких случаях называют раскрытием соответствующей неопределенности. Довольно часто справиться с этой проблемой помогает так называемое правило Лопиталя, которое можно сформулировать в виде теоремы.

Теорема. Если функции и удовлетворяют следующим условиям:

1) или ;

2) и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , и для любого их этой окрестности (за исключением, может быть, самой точки );

3) существует (конечный или бесконечный) , то тогда

.

Замечание 1. Если не существует, то нельзя ничего сказать об исходном пределе, т.е. может существовать, а может и не существовать. В такой ситуации решать задачу вычисления предела надо без использования правила Лопиталя.

Замечание 2. Правилом Лопиталя можно пользоваться (в случае выполнения условий теоремы) при раскрытии неопределенностей вида или не только при , но и при .

Замечание 3. Правило Лопиталя в некоторых задачах можно применять повторно.

Если необходимо раскрыть неопределенности иного вида, нежели и , то следует преобразовывать функцию, стоящую под знаком предела, приведя её к виду, позволяющему применить правило Лопиталя.

Если при , а , то вычисление предела (неопределенность вида ) может быть сведено к одному из случаев или при помощи тождественных преобразований произведения в частное:

или

Если при , а , то вычисление предела (неопределенность вида ) может быть сведено к раскрытию неопределенности путем тождественного преобразования разности в произведение:

.

Иногда удобно пользоваться и другими преобразованиями:

или

При вычислении пределов вида можно столкнуться с неопределенностью или , или . Раскрытие этих неопределенностей производят с помощью следующего преобразования:

Тогда (в силу непрерывности показательной функции) получают: , что сводит задачу к неопределенности или .