Понятие управляемости динамических систем

Интуитивно под управляемостью систем понимается возможность изменения управляемых величин желаемым образом с помощью управляющих воздействий. Однако не все объекты допускают такую возможность. Рассмотрим простейший пример – электрический мостик, схема которого показана на рис. 3.1.

Предположим, управляющим воздействием является величина , т.е. , а регулируемой величиной – напряжениеU_вых, т.е. y = U_вых. Если , то по закону Ома или y = Ku, причем K – некоторый коэффициент пропорциональности, зависящий от значений R₁, R₂ и R. В этом случае путем соответствующего изменения напряжения можно всегда обеспечить необходимые изменения напряжения U_вых. Следовательно, при R₁ ¹ R₂данный объект является управляемым.

Если же R₁ = R₂, то U_вых = 0 при любом значении величины , поэтому в этом случае данный объект является неуправляемым.

Если объект управления или система имеют более сложное устройство (более сложную схему, структуру), то непосредственно проверить управляемость трудно. Поэтому в общем случае для этой цели применяют специальные критерии управляемости, которые позволяют проверить управляемость объекта или системы по их математическим моделям.

Понятие управляемости может быть определено различными способами. В дальнейшем будет рассматриваться наиболее распространенное определение и критерий управляемости, которые были предложены Р. Калманом. Допустим объект (или система) описываются уравнениями:

, (3.1)

. (3.2)

Здесь u – вектор управлений, y – вектор управляемых величин. Предполагается, что матрицы А, В, Си Dизвестны.

Управляемость объекта (3.1), (3.2), по Калману, определяется следующим образом.

Определение. Объект управления, описываемый уравнениями (3.1), (3.2), называется вполне управляемым,если с помощью ограниченного управления u за конечное время его можно перевести из состояния x₁ ¹ 0 в начало координат x₂ = 0.

В противном случае объект (3.1), (3.2) называется не вполне (не полностью) управляемым. ■