Логарифмические частотные характеристики

При последовательном соединении звеньев передаточные функции перемножаются. Соответственно, комплексный коэффициент передач такого соединения будет равен произведению комплексных коэффициентов передачи отдельных звеньев. Определение такого произведения вручную довольно сложно, поэтому для удобства проведения и упрощения исследований САУ частотными методами американским ученым Боде были введены логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ), которые позволяют операцию умножения заменить операцией сложения. Различают логарифмические амплитудно-частотные характеристики (ЛАЧХ) и логарифмические фазочастотные характеристики (ЛФЧХ), а также асимптотические логарифмические амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики.

Логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ, рис. 2.17) называется характеристика вида

, дБ, (2.23)

по оси абсцисс которой отложен десятичный логарифм частоты (как безразмерной величины).

Измеряются логарифмические амплитудно-частотные характеристики в децибеллах(дБ). Название этой единицы введено в честь американского ученого, изобретателя телефона – Белла. Диапазон частот, отличающихся в десять раз, называется декадой. Обычно декада используется как единица измерения частоты при построении логарифмических характеристик.

Логарифмическая фазочастотная характеристика (рис. 2.18) отличается от обычной фазочастотной характеристики лишь тем, что по оси абсцисс откладывается логарифм частоты. Значения фазовой характеристики откладываются по оси ординат в радианах или в градусах, т.е.

, рад (град). (2.24)

Логарифмические фазочастотные характеристики реальных объектов и элементов систем управления, как правило, являются отрицательными функциями.

При построении логарифмических частотных характеристик удобно использовать асимптоты этих характеристик. Обычно выделяют следующие асимптоты амплитудно-частотной характеристики:

- низкочастотная асимптота

при ;

- высокочастотная асимптота

при .

Частота, на которой пересекаются (сопрягаются) низкочастотная и высокочастотная асимптоты, называется частотой сопряжения и обозначается . Частоты сопряжения асимптот амплитудно-частотных характеристик динамических звеньев и систем обратны их постоянным времени.

Логарифмические фазочастотные характеристики также имеют низкочастотную и высокочастотную асимптоты. Их сопряжение также происходит на той же частоте , но с помощью некоторой кривой, так как эти асимптоты, как правило, не пересекаются.

Пример 2.5.Найти и построить логарифмические характеристики инерционного звена.

Решение. В соответствии с определениями ЛЧХ (2.23), (2.24) и равенствами (2.22) имеем

, . (2.25)

Построим сначала асимптотические ЛЧХ. Низкочастотная асимптота ЛАЧХ инерционного звена, согласно (2.25), равная , представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс. Высокочастотная асимптота ЛАЧХ инерционного звена имеет наклон минус дБ на декаду. Эти асимптоты построены на рис. 2.19 и, как видно, пересекаются на частоте .

Весьма важно, что на частоте сопряжения разность между асимптотической и обыкновенной логарифмической характеристиками имеет максимальное значение и составляет всего 3 дБ. Соответствующая не асимптотическая ЛАЧХ обозначена на рис. 2.19 символом L.

Низкочастотная асимптота фазочастотной характеристики (2.25) инерционного звена определяется выражением , т.е. совпадает с осью абсцисс (рис. 2.20), а высокочастотная асимптота является прямой, параллельной оси абсцисс.

На частоте фазочастотная характеристика . Практически логарифмическая фазочастотная характеристика инерционного звена не совпадает со своими асимптотами лишь в пределах двух декад (декада ниже частоты и декада выше частоты ). В этом диапазоне частот логарифмическая фазо-частотная характеристика представляет собой отрезок кривой, близкой к тангенсоиде, как показано на рис. 2.20. ■

Возвращаясь к свойствам асимптотических ЛЧХ в общем случае, заметим следующее. Так как максимальная разность между асимптотическими и обычными логарифмическими частотными характеристиками для всех звеньев, кроме колебательного с , не превышает 3 дБ, то при построениях вручную вместо логарифмических характеристик обычно используют асимптотические характеристики. При необходимости (например, при наличии в системе колебательных звеньев с ) к асимптотическим характеристикам добавляют поправки. Наиболее существенное значение эти поправки имеют для колебательного и форсирующего звеньев второго порядка, где эти поправки (при малых x) могут достигать очень больших значений.

С другой стороны, при построении частотных характеристик с помощью ПЭВМ применение асимптотических характеристик теряет практический смысл. Однако знание свойств асимптотических характеристик является очень важным для инженера, так как позволяет проводить проверку правильности построения ЛЧХ с помощью ПЭВМ. Необходимость этого вызывается тем, что машинные методы расчета иногда сопровождаются ошибками, в особенности, связанными с вводом данных.

Итак, к моделям и характеристикам динамических звеньев или систем относятся:

- W(p) – передаточная функция;

- уравнения в переменных состояния;

- дифференциальные уравнения «вход-выход»;

- h(t) – переходная функция;

- w(t) – импульсная переходная (весовая) функция;

- W(jw) – комплексный коэффициент передачи;

- A(w) – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ);

- j(w) – фазочастотная характеристика (ФЧХ);

- L(ω) – логарифмическая (асимптотическая) амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ);

- j(w) – логарифмическая (асимптотическая) фазочастотная характеристика (ЛФЧХ).

Читателю рекомендуется самостоятельно найти указанные выше модели и характеристики всех типовых звеньев и построить графики последних. В качестве образца приведём следующий пример.

Пример 2.6. Для интегрирующего звена указать модели, временные и частотные характеристики, а также построить графики этих характеристик при T = 1.

Решение. В соответствии с определением данного звена из выражения (2.3) имеем при T = 1:

- передаточная функция ;

- уравнения в переменных состояния , ;

- уравнение «вход-выход» ;

- переходная функция (рис. 2.9);

- весовая функция (рис. 2.11, кривая 2);

- комплексный коэффициент передачи (годограф) (рис. 2.21);

- амплитудно-частотная характеристика (рис. 2.22);

- фазочастотная характеристика (рис. 2.23);

- логарифмическая АЧХ (рис. 2.24);

- логарифмическая ФЧХ (рис. 2.25). ■