Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотрим сложение взаимно перпендикулярных колебаний на примере механических колебаний. Допустим, что материальная точка может совершать колебания как вдоль оси Оx, так и вдоль перпендикулярной к ней оси Оy. Если возбудить оба колебания, материальная точка будет двигаться по некоторой, вообще говоря, криволинейной траектории, форма которой зависит от разности фаз обоих колебаний.

Выберем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна 0. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

и , (16.5.1)

где – разность начальных фаз обоих колебаний. Выражения (16.5.1) представляют собой заданное в параметрической форме уравнение траектории, по которой движется тело, участвующее в обоих колебаниях. Чтобы получить уравнение траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений (16.5.1) время. Из первого уравнения (16.5.1) следует, что

, (16.5.2)

поэтому

. (16.5.3)

Представим далее косинус во втором уравнении (16.5.1) по формуле для косинуса суммы , подставляя при этом вместо и их значения из соотношений (16.5.2) и (16.5.3). В результате получим

. (16.5.4)

Уравнение (16.5.4) это уравнение эллипса, оси которого повернуты относительно координатных осей Ox и Oy. Ориентация эллипса и величина его полуосей зависят довольно сложным образом от амплитуд A и B и разности фаз . Определим форму траектории для некоторых частных случаев:

1. Разность фаз равна нулю.

В этом случае уравнение (16.5.4) примет вид:

откуда следует уравнение прямой (см. рис.16.5):

.

Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой и амплитудой равной .

2. Разность фаз равна . В этом случае уравнение результирующего колебания примет вид:

Откуда получается, что результирующее движение представляет собой гармоническое колебание вдоль прямой (см. рис.16.6):

.

Движения, описываемые данными формулами, называют линейно поляризованными колебаниями.

3. При разности фаз равной ±p/2 уравнение переходит в следующее

,

т.е. в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям, причем полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний A и B (см. рис.16.7).

В этом случае говорят об эллиптически поляризованных колебаниях. При равенстве амплитуд (A=B) эллипс превращается в окружность. Колебания, описываемые уравнением при (A=B) называются поляризованными по кругу или циркулярно поляризованными.

Если теперь представить, что вместо колебаний материальной точки речь идет о колебаниях вектора напряженности электрического (или магнитного поля), то все вышеизложенное соответствует сложению двух колебаний поля, линейно поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях. Результат такого сложения, наблюдаемый на экране осциллографа, имеет вид эллипса. Этот эллипс является одной из фигур Лиссажу. Более сложные фигуры Лиссажу (восьмерка, седло и т.д.) соответствуют сложению взаимно перпендикулярных колебаний кратных частот.