Гидростатика несжимаемой жидкости

Силы, действующие в жидкости, обычно разделяют на массовые (объемные) и силы поверхностные. Массовая сила – сила, действующая на любой элемент объема жидкости. Обычно ее обозначают как f×dV, f – объемная плотность массовой силы. Пример массовых сил – сила тяжести r - плотность жидкости. Поверхностные (касательные) силы – это силы, которым подвергается любой объем жидкости, и которые действуют на поверхности объема со стороны окружающих частей жидкости.

Если бы в жидкости не было бы объемных сил, то условием равновесия было бы постоянство давления во всем объеме (закон Паскаля). Действительно, выделим в жидкости объем, так как представлено на рис. 5.4.

Если бы в точках, отстающих друг от друга на расстоянии Dl давление отличалось бы на величину Dр, то вдоль оси цилиндра действовала бы сила

F=Dр×DS,

вследствие чего жидкость пришла бы в движение, и равновесие было бы нарушено. Следовательно, при отсутствии объемных сил в состоянии равновесия в любом месте жидкости должно выполняться следующее условие:

и

(5.3.1)

Рассмотрим объем, выделенный таким образом, чтобы ось цилиндра была вертикальна (см. рис. 5.5). В этом случае вдоль оси цилиндра, кроме сил давления, на основания будет действовать также объемная сила (r - плотность жидкости) и условие равновесия примет вид: , или после преобразования

(5.3.2)

Таким образом, давления на двух разных уровнях жидкости отличаются на величину, численно равную весу вертикального столба жидкости, заключенного между этими уровнями, с площадью сечения, равной единице.

Следствием неодинаковости давлений на разных уровнях столба жидкости является наличие выталкивающей силы F_A (силы Архимеда), действующей на тело в жидкости или газе. Чтобы найти величину выталкивающей силы, заменим тело отвердевшим объемом жидкости или газа. Так как этот объем будет находиться в равновесии, то сила его веса уравновешивается равнодействующей всех сил давления, действующих на его поверхность. Такие же поверхностные силы действуют и на само тело, и их равнодействующая и определяет выталкивающую силу. Из сказанного выше следует, что выталкивающая сила F_A равна весу Р жидкости в объеме тела, а сама сила действует вверх по вертикали:

(5.3.3)

Отвердевший объем остается в равновесии при любых его ориентациях. В этом случае точка приложения выталкивающей силы совпадает с центром тяжести объема. Если плотность тела во всех точках одинакова, то центр тяжести тела совпадает с центром тяжести объема. В противном случае указанные точки могут не совпадать (рис. 5.6).

Если средняя плотность тел меньше, чем плотность жидкости, то в состоянии равновесия тело будет погружено в жидкость частично. При этом сила тяжести (приложенная к центру тяжести) и выталкивающая сила (приложенная к центру тяжести погруженной части тела) должны быть равны по величине, и действовать вдоль одной прямой, иначе они создадут вращающий момент, и равновесие будет нарушено.

Уравнение Бернулли

Одно из важнейших уравнений гидромеханики было получено в 1738 году швейцарским учёным Даниилом Бернулли. Ему впервые удалось описать движение несжимаемой идеальной жидкости (силы трения между элементами идеальной жидкости, а также между идеальной жидкостью и стенками сосуда отсутствуют). Уравнение Бернулли имеет вид:

(5.4.1)

где р – давление жидкости, ρ – её плотность, υ – скорость движения, g – ускорение свободного падения, h – высота, на которой находится элемент жидкости.

Согласно уравнению Бернулли, в случае установившегося течения, для которого не имеют существенного значения все другие характеристики текущей среды, кроме плотности (удельного веса), полный напор одинаков во всех поперечных сечениях трубки тока.

Слагаемые, входящие в уравнение Бернулли, имеют размерность и смысл давления. Давление р называют статическим; оно не связано с движением жидкости и может быть измерено, например, манометром, перемещающимся вместе с жидкостью. Давление называют динамическим; оно обусловлено движением жидкости и проявляется при ее торможении. Сумма статического и динамического давлений есть полное давление жидкости:

.

Давление - гидростатическое. В состоянии невесомости гидростатического давление отсутствует, с увеличением перегрузок оно возрастает. Используя эту терминологию уравнение Бернулли можно сформулировать как закон: в различных точках линии тока идеальной жидкости сумма статического, динамического и гидростатического давлений одинакова.

Рассмотрим истечение идеальной несжимаемой жидкости из небольшого отверстия в широком откры­том сосуде (рис. 5.7).

Выделим мысленно в жидко­сти трубку тока, сечениями ко­торой являются открытая по­верхность жидкости S₁ и сече­ние струи при выходе из отвер­стия S₂ (если не принять спе­циальных мер, то сечение струи будет меньше отвер­стия). Для всех точек каждого из этих сечений скорость жид­кости υ и высоту h над некото­рым исходным уровнем можно считать одинаковыми. Поэтому к данным сечениям можно применить теорему Бернулли. Давления р₁ и р₂ в обоих сечениях одинаковы и равны атмосферному. Скоростью υ₁ пе­ремещения открытой поверх­ности жидкости ввиду ее малости можно пренебречь. Поэтому уравнение Бернулли в данном случае упро­щается следующим образом:

(5.4.2)

где υ— скорость жидкости в сечении S₂ (скорость истечения из отверстия). Сократив на ρ, можно на­писать,

(5.4.3)

где h = h₁ — h₂ — высота открытой поверхности над отверстием.

Формула (5.4.3) называется формулой Торричелли. Из нее следует, что скорость истечения жидкости из отверстия, находящегося на глубине h под открытой поверхностью жидкости, совпадет со скоростью, которую приобретает любое тело, падая с высоты h (в случае, если сопротивлением воздуха можно пренебречь). Этот результат получен в пред­положении, что жидкость идеальна. Для реальных жидкостей скорость истечения будет меньше, причем тем сильнее отличается от значения, определяемого формулой Торричелли, чем больше внутреннее трение в жидкости. Например, глицерин будет вытекать из сосуда медленнее, чем вода.

Если к отверстию в стенке трубы присоединить манометрическую трубку, то жидкость в такой трубке поднимется на высоту, равную гидростатическому напору. Трубка, имеющая одновременно торцевое и боковые манометрические отверстия, называется трубкой Пито и используется для определения скорости течения по измеренному скоростному напору. Трубки Пито входят в комплект измерительного оборудования всех самолетов, а также широко применяются для измерений скорости течения в трубопроводах, вентиляционных воздуховодах, в аэро- и гидродинамических трубах.

Если скорость течения равна нулю (т.е. среда не движется), то уравнение Бернулли сводится к простому уравнению гидростатики.

В тех случаях, когда скорость течения отлична от нуля, уравнение Бернулли совместно с уравнениями неразрывности и закона сохранения количества движения позволяет решать практически важные задачи – о расходе среды, текущей через измерительные диафрагмы, поверх измерительных и водосбросных водосливов и под затворы шлюзовых галерей; о траектории струи жидкости; о форме, скорости и силе волн, действующих на суда и волноломы. Хотя в таких задачах обычно рассматривается течение воды под атмосферным слоем воздуха, аналогичные процессы гравитационного характера имеют место в случае течения более холодной (и, следовательно, более плотной) воды под более теплой, как и других жидкостей и газов разной плотности. Таким образом, водным потокам в реках аналогичны океанские течения и ветры, поскольку все гравитационные явления подчиняются одним и тем же законам гидроаэромеханики.