Формула взаимосвязи производной по направлению и градиента

.

Доказательство.Обозначим координаты вектора . Точка M произвольная, её координаты , а точка . Так как то их координаты пропорциональны, то есть

, что также записывается в параметрическом виде:

Это функция .

Рассмотрим производную композиции функций , а именно . Одно число (время t) сначала отображается в тройку чисел (координаты точки в момент времени) а затем функция f отображает эти 3 числа снова в одно число.

Производная внешней функции (которая действует последняя) это вектор-строка градиент функции f.

Производная внутренней функции (которая действует первая) это вектор-столбец.

Но ведь , аналогично и . Тогда

Но это и есть скалярное произведение градиента и вектора .

Отсюда виден смысл градиента.

Геометрический смысл.Градиент это вектор, при движении в направлении которого рост функции наиболее быстрый. Если движение в перпендикулярном направлении, то рост функции будет нулевым. Если под большим увеличением рассмотреть какой-то небольшой кусочек поверхности, то он выглядит почти как наклонная плоскость, а для наклонной плоскости при движении в ту сторону, куда она наклонена, наибольшая скорость роста высоты, в перпендикулярном направлении - высота не изменяется, а при движении в противоположном - уменьшается.

Замечание. Если направление - по координатной оси, то производная по направлению как раз и совпадает с какой-либо из частных производных. Если вектор вдоль оси Ox, то , скалярное произведение этого вектора и градиента это

= .