Взаимосвязь понятий «дифференцируемость» и «производная».

Теорема. Если f есть функция одной переменной, т.е. , то существует конечная производная в точке функция дифференцируема в точке .

Доказательство. Необходимость.

Пусть существует производная в точке, . Докажем, что функция дифференцируема. Если равен числу , то сама эта функция, которая под знаком предела, представима в виде: это число + какая-то бесконечно малая. .

Если домножить на то . Здесь обозначим , причём эта

более высокого порядка, ведь на уже существующую бесконечно-малую домножается ещё одна, а именно , т.е. порядок возрастает на 1. Получили . Определение дифференцируемости выполняется.

Достаточность. Пусть f дифференцируема. Выполняется равенство . Разделим его на : получим . Перейдём к пределу. .

Но ведь - бесконечно малая более высокого порядка, то есть там содержится не в первой, а какой-то более высокой степени. Тогда . Осталось . Заодно доказали, что константа А в этом равенстве - это и есть производная в точке, то есть .

Замечание. В одном из прошлых примеров, а именно , элемент это и есть та самая бесконечно малая более высокого порядка . Здесь она содержит 2 и 3 степени, и как видно, даже после деления на она станет , то есть содержит в каждом слагаемом хоть какие-то степени от , и поэтому стремится к 0.

Лекция № 12. 25. 11. 2016

Основные правила дифференцирования.

Сумма и разность: .

Произведение: . Частное: .

Композиция: .

Запомнить можно так: для произведения между и знак плюс, а для частного минус. Но в формуле частного есть ещё лишнее v² в знаменателе. Почему же производная произведения это не просто ? И откуда появляется ещё и v² в знаменателе для частного? Эти формулы вовсе не являются очевидными. Сейчас докажем формулы для произведения и частного.

Доказательство формулы .

Запишем производную по определению.

Но тут есть сдвиг на и по u, и по v. Добавим и вычтем такое слагаемое, в котором сдвиг по одной функции есть, а по второй нет:

теперь слагаемых стало 4, но зато их можно сгруппировать по два, и даже разбить на две дроби, так, что дельта прибавляется только на одном из мест.

Теперь можно вынести тот множитель, который одинаков в каждой разности:

Видно, то, что осталось в дробях, это и есть производные для u или v соответственно, т.е. в итоге:

. Итак, .

Докажем формулу .

Запишем по определению: .

В том выражении, которое есть в числителе, приведём к общему знаменателю.

= =

= .

Аналогично как в прошлом случае, добавим и вычтем слагаемое, чтобы получилось 4 слагаемых а не два, и чтобы в каждой паре был сдвиг только по одной из функций. Можно для этой цели прибавить и отнять, например, .

=

Если во втором пределе переставить два слагаемых и при этом, конечно, добавить знак минус, то часть, содержащая дельта-икс, получится раньше, что и приведёт к записи точь в точь, как в определении производной для v.

=

= .

С помощью правил дифференцирования решим несколько примеров.

Пример.Найти производную тангенса (мы фактически докажем одну из формул таблицы интегралов).

= = = = = .

Итак, = .

Пример. Найти . Примерим формулу дифференцирования композиции.

= = .