Взаимосвязь понятий «дифференцируемость» и «производная».
Теорема. Если f есть функция одной переменной, т.е. , то существует конечная производная в точке
функция дифференцируема в точке
.
Доказательство. Необходимость.
Пусть существует производная в точке, . Докажем, что функция дифференцируема. Если
равен числу
, то сама эта функция, которая под знаком предела, представима в виде: это число + какая-то бесконечно малая.
.
Если домножить на то
. Здесь обозначим
, причём эта
более высокого порядка, ведь на уже существующую бесконечно-малую домножается ещё одна, а именно , т.е. порядок возрастает на 1. Получили
. Определение дифференцируемости выполняется.
Достаточность. Пусть f дифференцируема. Выполняется равенство . Разделим его на
: получим
. Перейдём к пределу.
.
Но ведь - бесконечно малая более высокого порядка, то есть там содержится
не в первой, а какой-то более высокой степени. Тогда
. Осталось
. Заодно доказали, что константа А в этом равенстве - это и есть производная в точке, то есть
.
Замечание. В одном из прошлых примеров, а именно , элемент
это и есть та самая бесконечно малая более высокого порядка
. Здесь она содержит 2 и 3 степени, и как видно, даже после деления на
она станет
, то есть содержит в каждом слагаемом хоть какие-то степени от
, и поэтому стремится к 0.
Лекция № 12. 25. 11. 2016
Основные правила дифференцирования.
Сумма и разность: .
Произведение: . Частное:
.
Композиция: .
Запомнить можно так: для произведения между и
знак плюс, а для частного минус. Но в формуле частного есть ещё лишнее v2 в знаменателе. Почему же производная произведения это не просто
? И откуда появляется ещё и v2 в знаменателе для частного? Эти формулы вовсе не являются очевидными. Сейчас докажем формулы для произведения и частного.
Доказательство формулы .
Запишем производную по определению.
Но тут есть сдвиг на и по u, и по v. Добавим и вычтем такое слагаемое, в котором сдвиг по одной функции есть, а по второй нет:
теперь слагаемых стало 4, но зато их можно сгруппировать по два, и даже разбить на две дроби, так, что дельта прибавляется только на одном из мест.
Теперь можно вынести тот множитель, который одинаков в каждой разности:
Видно, то, что осталось в дробях, это и есть производные для u или v соответственно, т.е. в итоге:
. Итак,
.
Докажем формулу .
Запишем по определению:
.
В том выражении, которое есть в числителе, приведём к общему знаменателю.
=
=
= .
Аналогично как в прошлом случае, добавим и вычтем слагаемое, чтобы получилось 4 слагаемых а не два, и чтобы в каждой паре был сдвиг только по одной из функций. Можно для этой цели прибавить и отнять, например, .
=
Если во втором пределе переставить два слагаемых и при этом, конечно, добавить знак минус, то часть, содержащая дельта-икс, получится раньше, что и приведёт к записи точь в точь, как в определении производной для v.
=
=
.
С помощью правил дифференцирования решим несколько примеров.
Пример.Найти производную тангенса (мы фактически докажем одну из формул таблицы интегралов).
=
=
=
=
=
.
Итак, =
.
Пример. Найти . Примерим формулу дифференцирования композиции.
=
=
.
Дата добавления: 2016-11-29; просмотров: 1722;