Понятие о математическом моделировании и математической модели

В середине 60-х годов 20 века произошел массовый переход производства РЭС к монтажу компонентов на печатных платах (ПП). Возникла необходимость перехода от ручных методов проектирования ПП к автоматизированным с использованием ЭВМ и специализированных пакетов программ. Такие программы были созданы, и их использование явилось первым примером массового внедрения компьютерного проектирования в процесс разработки и производства узлов РЭС. Компьютерное проектирование ПП составляет предмет специальных дисциплин и здесь не рассматривается.

Середина 60-х годов 20 века характеризуется также значительным технологическим прорывом в микроэлектронике и переходом от производства дискретных полупроводниковых компонентов к производству интегральных схем (ИС). Технология производства ИС, безотносительно к тому, являются ли они макетными или опытными образцами, представляет собой многоэтапный процесс, включая фотолитографию и ряд химических процессов обработки полупроводникового материала. Полный цикл изготовления образца занимает теперь от одного до нескольких месяцев. Поэтому оказался невозможным итерационный процесс проектирования ИС, основанный на изготовлении большого количества макетных образцов и опытных партий. Возникла практическая потребность доработки параметров ИС не на физически существующих образцах, а на их математических моделях.

Эта потребность была удовлетворена появлением в 1971 г. первой промышленной программы схемотехнического моделирования SPICE (System Program Integrated Circuit), в названии которой отражена область её применения. Время появления этой программы не случайно и определялось, во-первых, настоятельной потребностью промышленности, во-вторых, достигнутой к тому времени высокой производительностью ЭВМ и, в третьих, наличием хорошо разработанных методов вычислительной математики.

Программа SPICE, несмотря на своё название, является достаточно универсальной и предоставляет возможность моделирования не только ИС, но и любых РЭС. В связи с появлением персональных компьютеров (ПК) появилась модификация этой программы PSPICE. В настоящее время существует большое количество пакетов программ схемотехнического моделирования, например, пакеты MicroCap (MC3, MC5, MC6, MC7, MC8), пакет WorkBench, система программ DesignLab, система программ OrCad и т.д.

В основе алгоритмов, используемых в этих программах, лежат алгоритмы программы PSPICE. Отличаются эти программы пользовательским интерфейсом и объёмом решаемых задач. Так, в системах DesignLab, OrCad дополнительно к возможностям схемотехнического моделирования предоставлена возможность проектирования печатных плат с расчётом паразитных элементов, создаваемых печатными проводниками.. В пакете WorkBench на экране ПК возникают изображения измерительных приборов при анализе характеристик моделируемой схемы. Однако с позиций схемотехнического моделирования все эти пакеты и системы программ предоставляют возможность решения одного и того же набора задач анализа схем, а именно:

· анализ по постоянному току;

· анализ частотных характеристик;

· анализ временных, в частности, импульсных и переходных характеристик;

· анализ спектра;

· анализ шумов;

· статистический анализ Монте-Карло.

Для того, чтобы заменить процесс изготовления и измерения физических образцов РЭС, то есть процесс физического моделирования, математическим моделированием, необходимо:

· создать математическую модель РЭС вместо изготовления РЭС;

· рассчитать параметры РЭС по математической модели вместо измерения параметров изготавливаемого образца РЭС.

Определение

Математической моделью РЭС или его компонента называется уравнение или система уравнений, связывающих заданные и искомые величины.

Если искомыми величинами являются узловые напряжения, а заданными – токи источников тока, подключённых к узлам, то говорят, что математическая модель построена в базисе узловых напряжений.

Если искомыми величинами являются токи контуров, а заданными – источники напряжения, включённые в контура, то говорят, что математическая модель построена в базисе контурных токов.

Возможно использование и смешанных базисов. Многочисленные исследования математических моделей, построенных в различных базисах, показали, что применительно к реализации программ моделирования на ПК наиболее приемлемой оказалась математическая модель в базисе узловых напряжений. Именно этот метод используется во всех программах схемотехнического моделирования.

Процесс моделирования, или, как говорят, анализа РЭС состоит в составлении системы уравнений, решении системы и нахождении искомых токов (напряжений) или их отношений, как функций от частоты (частотный анализ, спектральный анализ, анализ шумов) или времени (временной анализ).

Системы уравнений, то есть математические модели РЭС в целом или отдельного компонента, могут быть линейными, если заданные и искомые величины связаны линейными соотношениями, или нелинейными – в противном случае. Они могут быть также алгебраическими, если устройства (компоненты) не содержат конденсаторов и индуктивностей, или интегрально-дифференциальными, если содержат конденсаторы и индуктивности. Таким образом, вид математической модели определяется типом компонентов РЭС.

Коэффициенты, входящие в уравнения, называются параметрами математической модели, которые необходимо задать при проведении математического моделирования. Некоторые из параметров являются физическими константами, некоторые вытекают из теории работы компонентов и их значения определяются конструкцией и технологией изготовления компонентов. Наконец, некоторые параметры совпадают со справочными параметрами компонентов и доступны разработчику РЭС.

Применение методов математического, или, что то же самое, компьютерного моделирования успешно лишь в том случае, если результаты расчётов на ПК достаточно точно совпадают с результатами физического моделирования. Это определяется как точностями методов расчёта, так и близостью (адекватностью) параметров и характеристик различных компонентов РЭС и их математических моделей. Число параметров компонентов может достигать нескольких десятков, причём конструктивные и технологические параметры компонентов отсутствуют в справочных данных и, следовательно, недоступны для разработчика РЭС. Поэтому современные системы схемотехнического компьютерного моделирования содержат обширные библиотеки моделей выпускаемых промышленностью компонентов.

Рассмотрим основные параметры математических моделей наиболее распространённых компонентов.