ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОНВЕКТИВНОГО

МАССООБМЕНА

Целью решения задачи конвективного массообмена является получение уравнения, позволяющего определить поле концентраций в пределах одной фазы, т.е. определить зависимость:

с =f (x, y, z, τ), (7.11)

где x, y, z – координаты рассматриваемой точки;

τ - время.

По аналогии с переносом теплоты теплопроводностью и конвекцией поле концентраций может быть одно-, двух- и трехмерным, а также стационарным и нестационарным. Как и в теории теплопроводности, частные уравнения массообмена получают при совместном рассмотрении дифференциального уравнения переноса массы с соответствующими условиями однозначности, задаваемыми начальными и граничными условиями.

Дифференциальное уравнение конвективного массообмена можно написать сразу по аналогии с уравнением конвективного теплообмена:

∂с/∂τ + w_x∂с/∂x + w_y∂с/∂y + w_z∂с/∂z =

= D(∂²с/∂x² + ∂²с/∂y² + ∂²с/∂z²). (7.12)

По своему физическому смыслу дифференциальное уравнение конвективного массообмена (7.7) является частным случаем закона сохранения массы компонента, концентрация которого равна с.

Если фаза неподвижна, то проекции скоростей на оси координат w_x =

= w_y = w_z = 0. Поэтому дифференциальное уравнение (7.7) упростится и примет вид:

∂с/∂τ = D(∂²с/∂x² +∂²с/∂y² + ∂²с/∂z²). (7.13)

Уравнение (7.7) или (7.8), справедливое для молекулярной диффузии, по записи аналогично дифференциальному уравнению теплопроводности Фурье.

Уравнение (7.7) необходимо рассматривать совместно с уравнением неразрывности

∂w_x/∂x +∂w_y/∂y + ∂w_z/∂z = 0 (7.14)

и уравнением Навье-Стокса (закон сохранения импульса )

для оси x

ρ( ∂w_x/∂τ + w_x∂w_x/∂x + w_y∂w_x/∂y + w_z∂w_x/∂z) =

= ρg_x - ∂p/∂x + μ(∂²w_x/∂x² + ∂²w_x/∂y² + ∂²w_x/∂z²);

для оси y

ρ( ∂w_y/∂τ + w_x∂w_y/∂x + w_y∂w_y/∂y + w_z∂w_y/∂z) =

(7.15)

= ρg_y - ∂p/∂y + μ(∂²w_y/∂x² + ∂²w_y/∂y² + ∂²w_y/∂z²);

для оси z

ρ( ∂w_z/∂τ + w_x∂w_z/∂x + w_y∂w_z/∂y + w_z∂w_z/∂z) =

= ρg_z- ∂p/∂z + μ(∂²w_z/∂x² + ∂²w_z/∂y² + ∂²w_z/∂z²).

Таким образом, задача конвективного массообмена описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (7.12)-(7.15). Решение этих дифференциальных уравнений содержит постоянные (константы) интегрирования и потому не является однозначным, то есть система имеет бесчисленное множество решений. Для того чтобы получить единственное решение, необходимо к системе дифференциальных уравнений присоединить условия однозначности, которые конкретизируют задачу.

В настоящее время основной путь решения задач совместного тепло- и массообмена состоит в использовании аналогий, существующих в процессах переноса массы, энергии и импульса. Так, например, при умеренных скоростях и приближении теории пограничного слоя уравнения диффузии (7.10) и энергии (3.12) аналогичны, причем сама структура уравнения энергии ничем не отличается от случая «чистого» теплообмена (теплообмена, не осложненного массообменом) в однокомпонентной среде. В случае, если скорости умеренные, гравитационные силы несущественны, отсутствует продольный градиент давления и имеет место приближение теории пограничного слоя, имеется аналогия между уравнениями диффузии, энергии и движения. В неподвижных средах, если физические свойства неизменны а теплоемкости компонентов равны, существует аналогия между теплопроводностью и диффузией.

Поэтому при наличии аналогии граничных условий на межфазной поверхности для массо- и теплообмена существует широкая аналогия между явлениями тепло- и массообмена, которая позволяет решать множество практических задач совместного тепломассообмена на основе известных зависимостей для «чистого» теплообмена.